矩阵的对角化（优秀）_矩阵可对角化的总结

矩阵的对角化（优秀）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“矩阵可对角化的总结”。

矩阵的对角化

（李体政 徐宗辉）



教学目标与要求

通过学习，使学生明白为什么要进行矩阵的对角化, 并且熟练掌握一般方阵对角化的方法, 特别是实对称矩阵的对角化方法.

教学重点与难点

教学重点： 一般方阵可以对角化的条件及其对角化;实对称矩阵的对角化.教学难点： 求正交矩阵，使实对称矩阵化为对角矩阵.

教学方法与建议

先引入相似矩阵的概念, 通过分析相似矩阵的性质, 让学生看到: 讨论方阵与一个对角矩阵相似(在本节中我们称为矩阵的对角化)的问题是非常有意义的, 从而提出矩阵对角化的两个核心问题:(1)对于任何一个方阵,是否一定可以对角化(即存在性问题);(2)对于一个方阵,若可以对角化,那么如何进行对角化.围绕这两个问题,完成本节课的教学任务.1.问题的提出

教学过程设计

我们先引入相似矩阵的概念: 定义1: 对于阶数相同的方阵A和B, 若存在可逆方阵P, 使得 PAPB

1则称矩阵A与B相似, 记为AB, 而对A进行的运算PAP称为对A进行的相似变换,1可逆方阵P称为把A变为B的相似变换矩阵.利用相似矩阵的定义及前面的知识不难得出如下结论: 性质1:

设 AB, 则有

1)AB;2)rArB;3)IAIB, 从而具有相同的特征值.说明: 性质1表明, 假如矩阵A与B相似, 则A与B具有相同的行列式、相同的秩以及相同的特征值.而且很自然地推出, 若A与一个对角矩阵相似, 那么的主对角线元素恰好就是A的n个特征值.考虑到对角矩阵是一类性质优良的矩阵, 我们进一步会问: 1)是否对任何方阵A, 都存在相似变换矩阵P, 使PAP(对角矩阵)? 2)对n阶方阵A,若存在相似变换矩阵P,使PAP, 如何构造P?

112.一般方阵的对角化

我们先来讨论第二个问题.设Adiag(1,2,,n), 并设P(p1,p2,,pn)可逆, 由PAP得 APP, 即有 1(Ap1,Ap2,,Apn)(1p1,2p2,,npn)

由此可见, 只要取 P(p1,p2,,pn)的列为矩阵A的n个特征向量即可.因为P可逆, 所以p1,p2,,pn应线性无关.所以, 我们得出第一个问题的结论: 方阵A要与一对角矩阵相似, 则A必须要有n个线性无关的特征向量.进一步有下面的结论: 1)由于方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关, 故有

结论1: 如果方阵A的n个特征值互不相同, 则A可以对角化.2)若方阵A的ni重特征值与它所对应的线性无关的特征向量的个数mi有mini,即A为非亏损矩阵,那么A有n个线性无关的特征向量, 故有

结论2: 若方阵A为非亏损矩阵, 则A可以对角化.当mini, 即A为亏损矩阵,这时A没有n个线性无关的特征向量, 所以A不能对角化.综上所述有如下定理: 定理1： 方阵A可以对角化的充要条件为A是非亏损矩阵 说明: 1)定理1表明,方阵A的对角化问题最终归结为求方阵A的特征值以及求特征值所对应的齐次线性方程组的基础解系的问题, 同时也给出了构造相似变换矩阵P的具体方法.2)一般地, 我们不对非亏损矩阵进行一般性的讨论, 而仅仅讨论A为实对称矩阵的情形, 这种情形比较简单,而且实际应用上较为常见.3.实对称矩阵的对角化

和一般的方阵相比, 实对称矩阵具有更好的性质: 性质2: 设方阵A是实对称矩阵, 则有 1)A的所有特征值均是实数;2)A的不同特征值所对应的特征向量不但线性无关, 而且相互正交;定理2: 设A为n阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵P, 使 P1APdiag(1,2,,n)其中 1,2,,n为A的特征值.说明:

1)定理2表明, 任何实对称矩阵A都能对角化为一个对角矩阵,而且的主对角线元素就是A的特征值, 同时说明A是非亏损矩阵;2)定理2的证明采用数学归纳法易于学生理解;3)强调这里的矩阵P不仅可逆,而且是正交矩阵.这样对于任何实对称矩阵A,第一问题已经得到了圆满的解决,下面通过举例说明如何求正交矩阵, 使实对称矩阵对角化,这也是本节刚开始提出的第二个问题.4.举例 400例1 设 A031

013求一正交矩阵P, 使PAP.解: 14IA0000124 3231由此得A的特征值为 12,234.当 12 时, 解方程组2IAx0 得一个基础解系 10,1,1, 将其规范化得

T11p10，

22当234 时, 解方程组4IAx0 得一个基础解系

2T1,0,0, 30,1,1

TT由于2,3恰好正交, 所以只要规范化为

11p1,0,0p, 2, 30,

22TT因此

01Pp1,p2,p3212并且

PAPdiag(2,4,4)110001 212由这个例子可见, 对于实对称矩阵A, 求一个正交矩阵P, 使得PAP的步骤如下: 第一步 求A的特征值;第二步 求对应于每个特征值的特征向量.对单特征值, 只需将属于它的特征向量规

1范化;对r重特征值,需要先求出属于它的r个线性无关的特征向量, 然后对这r个特征向量进行正交规范化, 这样就可以得到n个两两正交的单位特征向量;第三步 以正交规范化的特征向量为列组成矩阵, 它就是要求的正交矩阵P, 使

P1AP, 这时的主对角线元素只需按组成P时特征向量的顺序依次将它们所属的特征值排列即可.说明: 由于方程组IAx0 的基础解系不唯一, 所以由此得到的正交矩阵P不是唯一的.比如在例1中, 对应于12的单位特征向量可取为

11, p10, 22对应于234的基础解系可取为

2T1,1,1, 31,1,1

TT由于2,3不正交, 所以需先正交化, 取

22,T2,3422332，.2,2333再将2,3规范化得

111211p2，p，, 3

333666于是

TT01P212

131313261 616220练习1 设 A212

020求一正交矩阵P,使PAP.1133 练习2 问 A353能否对角化? 若可以, 求可逆矩阵P和对角矩阵.664