可逆矩阵及其简单应用_可逆矩阵及应用举例

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它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。可逆矩阵作为矩阵乘法的逆运算,是矩阵的一种重要运算,在解决矩阵问题中起着重要的作用。因而掌握可逆矩阵的求法,在解决实际问题时,往往可以起到事半功倍的效果。本文将对一些常用的可逆矩阵的求法作系统的总结，并进一步介绍几种常见得可逆矩阵的在数学领域和通讯领域的简单应用。【关键词】矩阵 可逆矩阵 通信

【Abstract】In the discuion of linear equations, we can see that some

可逆矩阵及其简单应用

important properties of the linear equations are reflected in its coefficient matrix and augmented matrix of nature, what`s more, the proce of the solution performance of the proce of transformation of these matrices.Invertible matrix multiplication as the inverse of the matrix is an important matrix operations,and plays an important role in solving the problem.master ring the method of Invertible matrix often can play a multiplier effect in solving practical problems.The following are the system summary of the commonly used reversible method for the evaluation of Invertible matrix, and further descripitions of several common application in the field of mathematics and simple communications.【Key Words】Matrix Invertible matrix Communications

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目 录

前言...................................................................5

一、可逆矩阵...........................................................5

二、可逆矩阵的性质及求法...............................................5

（一）性质..............................................................5

（二）逆矩阵求法.........................................................6

三、可逆矩阵的简单应用.................................................10

（一）可逆矩阵在数学方面的应用............................................10

（二）可逆矩阵在通信方面的应用.........................................11（1）加密保密通信模型.......................................................12（2）可逆矩阵的应用........................................................12（3）加密密钥的生成........................................................13（4）解密密钥的生成........................................................14（5）明文矩阵的选择........................................................14（6）加密矩阵的选择........................................................14（7）算法优化............................................................14 结论...................................................................15 参考文献...............................................................15 致谢 16

可逆矩阵及其简单应用

前言

矩阵作为高等代数，这一伟大数学图腾的重要分支的一大重要部分，在我们的生活，学习，工作，更是在人类的进步中发挥了卓越的工具作用。可逆矩阵是矩阵知识的一个基础支流，借助自身优秀的性质特点，为更高层的矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容。

一，可逆矩阵

定义：在线性代数中，给定一个 n 阶方阵，其中阵，记作。，若存在一 n 阶方阵，使得 是的逆矩

为 n 阶单位矩阵，则称是可逆的，且

若方阵的逆阵存在，则称为非奇异方阵或可逆方阵。

二、可逆矩阵的性质及求法

（一）性质

（１）如果A可逆，则A也可逆，且(A1)1A．

由可逆的定义，显然有A与A是互逆的．（２）如果

11A、B是两个同阶可逆矩阵，则(AB)也可逆，且(AB)1B1A1．

这是因为(AB)(B1A1)A(BB1)A1AEA1AA1E

(B1A1)(AB)B1(A1A)BB1EBB1BE 所以(AB)1B1A1．

这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形.（３）可逆矩阵A的转置矩阵A也是可逆矩阵，且(A)这是因为

A(A)(AA)EE

(A)A(AA)EE

1TT1TTT1T1TTTT1(A1)T．

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所以(AT)1(A1)T．（４）如果A是可逆矩阵，则有A这是因为 AA所以

A111A1．

E，两边取行列式有 AA11，11A． A

（二）逆矩阵求法

方法一伴随矩阵法

定义1设A=aij是n级方阵，用Aij，表示A的(ij)元的代 数余子式(i=l，2，⋯，n)，A11矩阵An1A1n称为A的伴随矩阵，记作A* Ann若A0，并且当A可逆时有A1*A A这种方法在理论上很有用,在实际计算中常用于2级或 3级矩阵。

123例：A=456用伴随矩阵法求A

346123解：：因为A45856=1，所以A可逆，而A112

463464845,A120A131,A21=0,A22=-3,A23=2,A31=1,A32=4 3634A33=-3 2011*A=034 AA123方法二 二阶矩阵的公式求逆法 设Aab(其中ad-bc0，即A0)，cd

可逆矩阵及其简单应用

dA则AcAbA1db= aAcaA这个公式的推导思想是从AAI这个重要结论出发，构 造一个矩阵B，去左乘A使其等于单位矩阵I，即若AB=I，那 么A =B。这种方法只适用于求二阶矩阵的逆矩阵。我们称为

二阶矩阵的公式求逆法。方法三初等变换法

这是一种最常用的一种方法,为了看出如何用初等变换 法求逆矩阵，先证一个引理：

引理l可逆矩阵的简化行阶梯形一定是单位矩阵。换句话说,可逆矩阵可以经过一系列初等变

初等航变换I,A，同理有换化成单位矩阵。即A,IA初等列变换I IA123例：A458用初等变换法求A

346123100123100458010034410 346001023301100201100201011111011111023301001123100201 010034230011201所以A034

123方法四利用解线性方程组来求逆矩阵

若n级矩阵A可逆,则AAI，于是A的第j列是线性

方程组的AXj的解，j=1,2，⋯，n因此我们可以去解线性方 程组AX，其中 =b1,b2,,bn'然后把所得的解的公共式石家庄学院毕业设计（论文）

中b1,b2,,bn分别用l，O，⋯，O；0，l，⋯，O；⋯；0，⋯，O，l代替，便可求得A的第l,2,⋯,n列。这种方法在某些时候可能比 用初等变换法求逆矩阵稍微简单些。方法五分块求逆法

当一个可逆矩阵的级数较大时,即使用初等变换法求它的逆矩阵仍然计算量较大,如果把该矩阵分块,再对分块矩阵 求逆矩阵，则可减少计算量。用分块求逆法解题的具体步骤为：(1)根据所给矩阵A的特点分块为A=常用的分块求逆公式有：

设A，B，A1，A2，⋯，As均可逆，则 A11A21A12(2)选择适当的分块求逆公式 A22A1A01: =0B01A110A100 2: = 1B0A0As1sA1A1CB1AC 4:110BB1BCAB10 6:0BA010B1111A1AC3:0B0110 B1B1CA10A5:1BCAA1 0B1 11ACB07:As0As1A1C =  8:B10A01A010A52例：设四阶方阵00解：设A121000000试求A1 12110是分块矩阵，易 A2A15212A,则A221110

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131211得A1，A21253120252031故A1=001330013002 313方法六利用哈密尔顿～凯莱定理求逆矩阵

哈密尔顿一凯莱定理：设A是数域P上一个nn级矩 阵，fEA 是A的特征多项式，则fAAna111a22annAn1AE0设fAAnan11Aa2An2an1AanE

其中ann1A

当A可逆时，A0，即an0

由Ana11Anan22Aan1AanE0可得

1a(Ana1An1a22Anan1A)E n1A(An1an2a1Aa32Anan1E)E nA11a(An1a31An2a2Anan1E)n例设A111210试用哈密尔顿一凯莱定理求A1 110解：fEA32230 A32A23E0

A13A22AE A111013A22A=30132

方法七利用最小多项式求逆矩阵

定义：以n阶矩阵A为根的多项式中,其中次数最低的 首项为l的以A为根的多项式，称为A的最小多项式。

121

 石家庄学院毕业设计（论文）

引理2设m()是矩阵A的最小多项式，那么f为根的充分必要条件是m()整除f以A



由上述引理和定义及哈密尔顿一凯莱定理知：非退化矩 阵A的最小多项式的常数项非零,即设A的最小多项式为mma1m1am1am则有常数项am0又由于mAAma1Am1am1AamE，则得11 Am1a1Am2am1EAE，am故A1Am1a1Am2am1E am下面举例说明此法的应用,但此法并不常用。

110例,求A010的逆矩阵。

001解：因为A的特征多项式为EAI，所以A的最小多项式为AI的因式，显然A—E≠0，而AE0，因

2此A的最小多项式为m121，即a210，所

2323以由

A11Am1a1Am2am1E得 am110A1A2E2EA010

101

三、可逆矩阵的简单应用

（一）可逆矩阵在数学方面的应用

逆矩阵在对角化中的应用

定理1

n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A由n个线性无关1的特征向量,且当A相似于对角矩阵时,的主对角线元素就是A的全部特征值.可逆矩阵及其简单应用

推论1 方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A的属于每个特征值的线性无关的特征向量个数正好等于该特征值的重数.定理21 如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值（即A的特征值都是单特征值）,则A必相似于对角矩阵.3.1.2求n阶方阵的特征值与特征向量的一般步骤.第一步：计算特征多项式AI

第二步：求出特征方程AI0的全部根1,2,,n（重根按重数计算）,则 1,2,,n就是A的全部特征值.如果i为特征方程的单根,则称i为A的单特征根;如果i为特征方程的k重根,则称i为A的k重特征值,并称k为i的重数.第三步：对A的相异特征值中的每个特征值i,求出齐次线性方程AiIx0的一个基础解系i1,i2,,iki,则 i1,i2,,iki就是对应于特征值i的特征空间的一个基,而A的属于i的全部特征向量为



x ci1i1ci2i2cikiiki

（其中ci1,ci2,ciki为不全为0的任意常数）

3.1.3如果n阶方阵A相似于对角矩阵,则A的相似对角化的一般步骤如下:

第一步：求出A的全部特征值1,2,,n;第二步：对A的相异特征值中的每个特征值i,求出齐次线性方程组

AiIx0 的一个基础解系,将所有这样的基础解系中的向量合在一起,假定这样的向量共有n个,它们就是A的n个线性无关的特征向量1,2,,n;1第三步：令矩阵P=1,2,,n,则有PAPdiag1,2,,n,其中i是属于特征值i的特征向量i1,2,,n.注意P的列向量的排列次序于与对角矩阵的主对角线元素的排列次序相一致

（二）可逆矩阵在通信方面的应用

保密通信是当今信息时代一个非常重要的课题．无数的科技工作者为此做了大量的工作，先后提出 了许多较为有效的保密通信模型．其中，基于加密技术的保密通信模型是其中最为基本而且最具活力的石家庄学院毕业设计（论文）

一种．

（1）加密保密通信模型

基于加密技术的保密通信模型如下：

发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用相对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据．

2可逆矩阵的应用

显然一种加密技术是否有效，关键在于是密文能否还原成明文．

设有矩阵方程C=AB，其中B为未知矩阵．我们知道，如果A为可逆矩阵，则方程有唯一解 B=A1C，其中A1是A的逆矩阵．

因此，可逆矩阵可以有效地应用于加密技术．

设A为可逆矩阵，B为明文矩阵，c为密文矩阵．

加密算法加密时，采用下面的矩阵乘法：

C=BA 或C=AB．

32010221 例如，设加密密钥矩阵A为123201213225明文矩阵B为43121121423345 67

可逆矩阵及其简单应用

320132022125则密文矩阵c等于1232430121122．2．2 解密算法

11214233446425513615129 615321138711113024解密时，采用下面的矩阵乘法：

BCA1或BA1C

其中，A1为A的逆矩阵．

112401011 例如，针对上面的加密密钥矩阵A，解密密钥矩阵A为11362161075如果密文矩阵C为1***11773269 2186219611660697945558= 2372631317081则相应的明文矩阵B应等于1124701015113612161013密钥的生成如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密密钥和求出其逆矩阵作为解密密钥是利用可逆矩阵 实现保密通信的关键． 3加密密钥的生成我们知道，初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的．因此，我们可以考虑利用若干 个初等矩阵的乘积作为加密密钥．

这种做法的好处是，我们可以自由地选择初等矩阵的数量和每个初等矩阵的类型，以及由单位矩阵 得到初等矩阵的具体初等变换．

在实际应用中，可以通过对单位矩阵连续施加一序列所选择的初等变换得到加密矩阵． 根据文献[3]，通常所谓的矩阵的三种基本类型的初等变换： 1)交换两行或两列； 2)数乘某一行或某一列；

3)将某一行(或某一列)的K倍加到另一行(或另一列)上，实质上只有2)和3)两种是独立的，1)可以通过2)和3)来表示．因此，在设计算法时，可以利用如下矩阵 结构(下文称其为变换矩阵)：

行号列号倍数行号列号

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其中行代表变换，列表示变换的具体内容，而且第i行表示第i次变换．比如，变换1表示第l行乘一3；

变换2表示第3列乘5；变换3表示第3行的一1倍加到第2行上；变换4表示第3列的3倍加到第2列 上，等等． 4解密密钥的生成 设APP12P3Pn，其中Pi只是初等矩阵，则

11111P的逆矩阵． A1PnP3P2P1其中Pi是设P只是对单位矩阵I做初等变换K得到的初等矩阵，则只需对单位矩阵I做K的逆变换即可

得到Pi1．

显然，在实际应用，生成解密密钥只需要再次利用生成加密密钥时的变换矩阵对单位矩阵做一序列的初等逆变换即可．其_______它问题

除了密钥矩阵的生成这一基本问题以外，在利用可逆矩阵实现保密通信时，还有一些问题值得我们

探讨．

5明文矩阵的选择

如果明文矩阵刀为方阵，则当B为可逆矩阵时有

AB1C或ACB1，其中B1为B的逆矩阵．

因此，如果窃密者以某种方式窃取到一对明文和相应的密文，碰巧其中的明文矩阵可逆，那么窃密者可 以轻而易举地破解密文．

鉴于以上考虑，在实际应用时，明文矩阵不要采用方阵．

另外，在实际应用中，明文并不总是恰好可以分成整数个矩阵，出现这种情况时需要补充一些数据． 补充的数据可以是有意义的，也可以是无意义的．有时，我们可以利用这些附加数据来达到某种特殊的 效果，比如数据的完整性检验等． 6加密矩阵的选择

设c=AB，根据矩阵乘法的定义，乘积矩阵C中第i行第j列的元素Cij，等于矩阵A中第i行的所 有元素与矩阵B中第j列的对应元素之积的累加和．

因此，利用可逆矩阵来实现保密通信的另一个问题是，如果加密矩阵选择得不好，密文矩阵的元素 长度会急剧膨胀．

为了避免出现这种情况，加密矩阵A最好满足以下条件：

对任意的明文矩阵B，密文矩阵C中的每一个元素的长度都不超过明文矩阵B中对应位置上的元 素的长度． 或者退而求其次：

对任意的明文矩阵B，密文矩阵C中所有元素的总长度不超过明文矩阵B中所有元素的总长度． 如果能找到一个加密矩阵，使得对任意的明文矩阵，密文矩阵中所有元素的总长度在一个比较理想 的程度上小于明文矩阵中所有元素的总长度，那么这时的加密算法同时也是一种较好的压缩算法． 7算法优化

设加密矩阵A为咒阶矩阵，明文矩阵B为n行m列矩阵，利用“向量”的有关知识，密文矩阵c的第 i行(行向量Ci（i=1，2，⋯，n)可以表示为

可逆矩阵及其简单应用

CiAi1B1Ai2B2AinBn其中Aij(j=1，2，⋯，n)为矩阵A的第i行第j列位置上的元素，而Bn则为矩阵B的第n行(行向量)．

显然，密文矩阵的每一个行向量都是明文矩阵的所有行向量的一种线性组合，其组合系数正好是加 密矩阵的相应行上的所有元素．

根据矩阵乘法的定义直接计算密文矩阵时，计算密文矩阵的每个元素需要做粗次乘法和咒一1次加 法，因此计算整个密文矩阵总共需要mn次乘法和mn2n1次加法．

2利用上述线性组合关系来计算密文矩阵时，计算密文矩阵的每行元素需要做mn次乘法和mn计算整个密文矩阵也总共需要进行mn次乘法和mn2n1次加法，因此

n1次加法．

但是，如果加密矩阵中含有一定数量的0元素，则利用线性组合来计算密文矩阵就有较大的优势． 加密矩阵每增加一个0元素，计算密文矩阵就要少做m次乘法和m次加法．

在实际应用中，加密矩阵一般都含有一定数量的0元素．__ 结论

通过本篇论文对可逆矩阵的性质及其求法的探讨，我们更深一步的讲述了可逆矩阵在数学学科和生活通信保密工作的重要应用，我们可以推知逆矩阵将我们遇到的通常难解决的问题，简易化，模型化，以达到矩阵的转化与变形，是我们的工作事半功倍，更解决掉了实际的问题。我们也由此总结归纳，再一次证明了可逆矩阵的重要性。

参考文献

[1]熊小兵.可逆矩阵在保密通信中的应用.[D].武汉大学计算机学院.2007-6.[2] 胡淑娟, 马宝艳.可逆矩阵及求逆矩阵的方法.[D].河南财经学院成功学院.2010-4.[3]石生明，王萼芳.高等代数.[M].第三版．北京：高等教育出版社，2003∶273-281.[4]钱吉林.高等代数题解精粹.[M].第二版.北京：中央民主大学出版社，2010:112-149.[5] 杨奇、田代军、韩维信.线性代数与解析几何[M].天津：天津大学出版社,2002:112-128.[6] 郭来鹏, 对可逆矩阵的探讨, [D].数学与信息科学学院.2008-6.石家庄学院毕业设计（论文）

致谢

感谢我的指导老师„„亲切关怀和悉心指导。她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，刘老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。三年来，她不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

在此，我还要感谢在一起度过愉快的大学三年生活的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!

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