西北师范大学数学与应用数学专业课程教学大纲（推荐）_应用数学教学大纲
西北师范大学数学与应用数学专业课程教学大纲（推荐）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“应用数学教学大纲”。
西北师范大学数学与应用数学专业课程教学大纲
高 等 代 数
一、说明
（一）课程性质
高等代数是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要核心课程，也是理科各学科的一门重要基础课。它是中学代数的继续和提高，它的思想和方法已经渗透到数学的各个领域。高等代数的全部内容分两大部分，多项式理论和线性代数理论。其中线性代数理论显得十分重要，不仅在自然科学的各分支有着重要应用，而且在社会科学领域中也有着广泛的应用。目前在师范院校，除了文学专业和外语专业外，其它所有专业都开设了线性代数课程，值得一提的是，在体育专业和政治专业也开设了线性代数课程，而且大家一致认为十分必要。
（二）教学目的通过高等代数的学习，使学生掌握其基本理论和方法，主要是从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法，这和中学代数思想方法有着很大的不同。掌握了高等代数的基本知识和思想方法，必然会提高学生分析问题和解决问题的能力，对数学专业后继课程的学习至关重要，教师必须清楚地认识到这一点，教学目的不能偏离这个方向。
（三）教学内容
高等代数课程的主要内容有：多项式理论、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换、欧氏空间。
（四）教学时数
高等代数（I）：90学时
高等代数（II）：90学时。
（五）教学方式
课堂讲授
二、本文
高等代数Ⅰ
第一章 行列式
教学要点：
有关行列式的一些基本概念：线性方程组与行列式的关系、排列、n阶行列式、子式和代数余子式、克拉默规则。
教学时数： 16学时。教学内容：
第一节
二阶与三阶行列式（2学时）
介绍2×2线性方程组与二阶行列式的关系，3×3线性方程组与三阶行列式的关系，由此提出一个问题，n×n线性方程组与n阶行列式是什么关系。
第二节
排列（2学时）
介绍排列概念及基本性质，其中包括偶排列、奇排列、反序数，讲授一个主要结论，n!个排列中奇排列、偶排列各占一半。
第三节
n阶行列式（4学时）
介绍n阶行列式的定义，性质。指出按定义计算一个n阶行列式是很困难的，要计算出一个n阶行列式必须掌握它的性质，共有7个性质，这7个性质对计算一个n阶行列式是非常重要的。
第四节
行列式按行(列)展开（2学时）
介绍子式和代数余子式的定义，使学生掌握另一种计算n阶行列式的方法，即按行按列展开的计算方法，举出一些利用性质和代数余子式计算n阶行列式的有效方法。
第五节
克拉默规则（2学时）
介绍克拉默规则，它是本章的基本结论，前面的几节内容都是为得到这一结果服务的，所以克拉默规则十分重要，它是解n×n线性方程组的一个有力工具。
第六节 行列式的一些应用(选学)习题课
4学时 考核要求：
理解并熟记行列式、排列、子式、代数余子式、n阶行列式的性质、克拉默规则这些概念及结论。
第二章
矩阵
教学要点：
矩阵的运算、矩阵的行列式、矩阵的逆矩阵、矩阵的分块理论。教学时数： 24学时。教学内容：
第一节 矩阵的定义（2学时）主要介绍矩阵概念的产生背景.第二节 矩阵对策(选学)
主要介绍矩阵理论在实际问题中的应用.第三节 矩阵的加法与数乘（2学时）
主要介绍矩阵的加法、数与矩阵的乘法.给出两种运算产生的背景.第四节 矩阵的乘积（4学时）主要介绍矩阵乘法运算产生的背景.第五节 矩阵在决策理论中的应用(选学)
本节通过大量的实际例子说明矩阵理论在决策问题中有广泛的应用.第六节 初等变换（6学时）
主要介绍矩阵初等变换思想的背景, 线性方程组的同解变形、线性方程组的加减消元法与它 增广矩阵行初等变换是一致的, 这为线性方程组的解提供了理论基础.第七节 可逆逆矩阵（4学时）
主要介绍n阶矩阵的逆矩阵、n阶矩阵的行列式、矩阵乘积的行列式与各自行列式的关系、n阶方阵可逆时逆矩阵的求法（有两种方法，伴随矩阵的方法与初等行变换的方法）。
第八节 矩阵的分块（2学时）
主要介绍矩阵的分块理论，也就是把矩阵中一部分元素看作一个块（或一个元素）来处理 矩阵的有关问题。
习题课
4学时 考核要求：
理解并熟记矩阵的各种运算、矩阵与行列式的区别与联系，逆矩阵的思想与逆矩阵的两种求法。掌握矩阵的分块思想在矩阵理论中的重要性。
第三章 矩阵的进一步讨论
教学要点：
介绍有关基本概念及性质。教学时数： 26学时 教学内容：
第一节 矩阵的秩（4学时）
通过一个无解的线性方程组引入矩阵秩的概念。第二节 特征根（4学时）介绍矩阵的特征根与特征向量。第三节 对称矩阵（4学时）引入转置矩阵、对称矩阵。
第四节 矩阵的合同（6学时）
介绍合同矩阵的概念，引出矩阵的合同变换。第五节 二次型（2学时）
介绍二次型的概念及其矩阵表示形式。第六节 正定矩阵（2学时）介绍正定矩阵与正定二次型。习题课
4学时
第四章
多项式与矩阵
教学要点：
介绍有关基本概念及性质：一元多项式的定义及运算、多项式的整除性、多项式的最大公因式、多项式的分解、重因式、多项式的根、C上和R上的多项式、Q上的多项式及最大公因式的矩阵求法。
教学时数： 24学时 教学内容：
第一节
带余除法
多项式的整除性（2学时）
介绍一元多项式的定义，重点讲解多项式的形式表达式。规定多项式的加法、减法与乘法运算，给出多项式次数的定义，介绍零次多项式与零多项式。介绍多项式整除的概念，重点讲解带余除法定理，它是多项式理论的核心内容。
第二节
最大公因式（4学时）
介绍最大公因式的概念、求法，特别是辗转相除法，另外介绍多项式互素的概念和判断互素的充分必要条件。
第三节
多项式的分解（4学时）
介绍多项式因式分解的思想，重点强调一个多项式能分解到什么程度与它的系数所在的数域有着密切的关系。
第四节 最大公因式的矩阵求法(I)（2学时）第五节 最大公因式的矩阵求法(Ⅱ)（4学时）介绍用矩阵的准初等变换思想求最大公因式的方法.第六节
多项式的根（4学时）
介绍从函数的观点看待多项式的思想，给出多项式根的定义，并介绍代数学基本定理（不给出证明）。
第七节 x矩阵的标准形（选学）
第八节 数字矩阵相似的充要条件（选学）
第九节 Cayley-Hamiltion定理
最小多项式（选学）习题课
4学时 考核要求：
要求学生掌握一元多项式与多元多项式的基本理论，特别是从形式表达式与函数观点两种方式去理解多项式这一概念，另外，要求通过对对称多项式的学习，使学生初步对对称这一数学思想有一了解，为今后学习群论打下一点基础。
高等代数Ⅱ
第五章
向量空间
教学要点：
向量空间的由来、子空间、向量的线性相关性、基和维数、向量的坐标、向量空间的同构、线性方程组的解空间。
教学时数： 24学时。教学内容：
第一节 向量空间的定义（4学时）
主要介绍向量空间的定义，并给出大量的例子，因为这是高等代数中第一个比较抽象且难理解的概念。第二节 向量的线性相关性（6学时）
主要介绍向量的线性组合、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的等价、向量组的秩。
第三节 基、维数、坐标（4学时）
主要介绍向量空间的基、维数、向量空间的维数公式、余子空间。第四节 子空间（4学时）
主要介绍向量空间的子空间、交子空间，和子空间及子空间的判定定理。第五节 向量空间的同构（2学时）
主要介绍向量空间之间的映射、向量空间的同构。习题课
4学时 考核要求：
理解并熟记本章的基本概念与性质：向量空间、子空间、空间的基本性质、向量的线性相关性、基与维数、坐标、维数公式。
第六章
线性方程组
教学要点：
线性方程组的消元解法、矩阵的秩、有解的判别定理、线性方程组的公式解法、二元方程组的结式和判别式。
教学时数： 20学时。教学内容：
第一节 消元解法（4学时）
主要介绍概念：矩阵、矩阵的初等变换、线性方程组的高斯消元法、线性方程线的同解变形、线性方程组的加减消元法与它的增广矩阵行初等变换的一致性。
第二节 应用举例(选学)
第三节 齐次线性方程组解的结构（4学时）
应用向量空间的理论给出齐次线性方程组解的结构。第四节 一般线性方程组解的结构（2学时）
主要介绍线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等。第五节 秩与线性相关性（2学时）
应用线性方程组的理论研究矩阵的秩、行列式、向量组。第六节 特征向量与矩阵的对角化（4学时）应用线性方程组的理论研究特征向量的求法。第七节 线性方程组的迭代解法（选学）习题课
4学时 考核要求：
理解并熟记线性方程组的两种求解方法、线性方程组有解的判别定理、矩阵的秩（尤其重要）。
第七章
线性变换
教学要点：
线性变换、线性变换和矩阵的关系、本征值与本征向量、可以对角化的矩阵（线性变换）教学时数： 24学时。教学内容：
第一节 线性变换的定义及性质（2学时）
主要介绍两个向量空间的线性映射、映射的象Im(σ)、映射的核Kerσ。第二节 线性变换的运算（4学时）
主要介绍向量空间到自身的线性变换、线性变换的和变换、数乘线性变换、线性变换的乘积、线性变换的逆线性变换。
第三节 线性变换的矩阵（6学时）
主要介绍线性变换在一个基下的矩阵、矩阵确定的线性变换、线性变换的运算与相应的矩阵运算、同一个线性变换在不同基下矩阵的关系（相似矩阵）。第四节 不变子空间（4学时）
主要介绍线性变换下子空间的不变性、象不变子空间、核不变子空间、不变子空间与线性变换的对角化。
第五节 线性变换的本征值与本征向量（4学时）
主要介绍矩阵的特征值、特征向量、线性变换的本征值与本征向量、特征子空间。习题课
4学时 考核要求：
要求学生掌握什么是线性变换，线性变换如何由一个n阶矩阵来体现。理解并记住一些基本概念，例如特征值、特征向量、本征值、本征向量、线性变换对角化的判别定理。
第八章
欧氏空间
教学要点：
欧氏空间、内积、度量矩阵、正交变换、对称变换、正交基、标准正交基。教学时数： 22学时。教学内容：
第一节 欧氏空间的定义及性质（4学时）
主要介绍实数域上向量空间的内积、欧氏空间、向量的长度、夹角、哥西一许瓦兹不等式。第二节 度量矩阵与正交基（4学时）
主要介绍向量的正交性、正交向量组、正交基、标准正交基、度量矩阵、施密特正交化方法、正交矩阵。
第三节 正交变换与对称变换（2学时）
主要介绍保持向量长度不变的正交变换、正交矩阵的性质、正交变换的四个等价条件；介绍对称变换、、对称变换的对角化问题、实对称矩阵的特征值问题。
第四节 子空间与正交性（2学时）主要讨论欧氏空间的子空间。
第五节 对称矩阵的标准形（6学时）介绍实对称矩阵的标准形理论。习题课
4学时 考核要求：
要求学生掌握欧氏空间的概念（既实数域上定义了内积的向量空间），正交变换与正交矩阵的关系，对称变换与对称矩阵之间的关系，线性无关向量组的正交化方法，标准正交基的求法。
