试题8(天津大学线性代数试题)_天津大学线性代数试题

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试题8(天津大学线性代数试题)

一、单项选择题（本题12分，每小题3分）

2221．二次型f(x1,x2,x3)2x15x25x34x1x24x1x38x2x3的标准形为 2222222222（A）10y3；（B）y1；（C）y1；（D）y1.y210y3y210y3y210y32．若1,2,,m(m2)线性相关，那么向量组内（）可由向量组的其余向量线性表示.（A）任何一个向量;（B）没有一个向量;（C）至少有一个向量;（D）至多有一个向量.3．设A为正交矩阵，j是A的第j列，则j与j的内积为（A）0;（B）1

;（C）2

;（D）3.4．设A12*A，则等于 3412134242;（B）;（C）;（D）.31313424（A）

二、填空题（本题12分，每小题4分）

1．设向量(1,a,b)与向量1(2,2,2),2(3,1,3)都正交，则a_____，b____.'122．设A,B为3阶方阵，且A1,B2，则2(AB)____.1213．设矩阵A231，则齐次线性方程组AX0的解空间的维数是____.411422'

1三、（本题15分）设A242，求一正交矩阵C，使得CACCAC为对角形.224

四、（本题8分）已知三阶方阵A的特征值为3，2，1，它们对应的特征向量为

220X12,X22,X32，求A.022

五、（本题15分）问a,b为何值时，下列方程组有解，并求出方程组的通解.x1x2x3x4x51,3x2xxx3x0,12345 x22x32x46x53,5x14x23x33x4x5b.六、（本题10分）设向量组

1(1,2,1,2,2),2(4,1,2,1,3),13(2,5,4,1,0),4(1,1,1,1,).3（1）证明向量组1,2,3,4线性相关；

（2）求向量组1,2,3,4的一个极大线性无关组；（3）将其余向量表示成此极大线性无关组的线性组合.七、（本题12分）

设E1110010000,E,E,E122122和 0000100111111110B1,B2,B3,B4

11100000是R22的两组基，定义(A)A221022.,AR02（1）试证：是R上的线性变换.（2）求由基E11,E12,E21,E22到基B1,B2,B3,B4的过渡矩阵.（3）求在基B1,B2,B3,B4下的矩阵.八、（本题8分）设B是n阶可逆矩阵，A是n阶方阵，且满足AABB0，试证明A与AB均为可逆矩阵.九、（本题8分）设三阶实对称矩阵A的特征值为12（1）证明：2EA是可逆矩阵；

（2）设B(A)4A4E，试证B是正定矩阵.*2**221,34.2