必修2数学基础知识_高中数学必修二基础
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第1章立体几何初步
§1.2.1平面的基本性质1.点与平面的关系：点A在平面 内，记作A；点A不在平面内，记作点与直线的关系：点A在直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作：
直线与平面的关系：直线l在平面内，记作l；直线l不在平面内，记作：
2.公理1：如果一条直线上的点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（即直线在平面内，或者平面经过直线）
用符号语言表示公理1：
3.公理2：经过
推论：①经过一条直线和这条直线的一点，有且只有一个平面；
②经过两条直线，有且只有一个平面；
③经过两条直线，有且只有一个平面.公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据
4.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线
若平面和平面相交，交线是l，记作l.用符号语言表示公理3：
§1.2.2空间两条直线的位置关系
（1）
（2）
（3）
定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这个两角相等
2.异面直线
异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线.它们既，又.异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，则把直线a′ 和b′ 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.两条异面直线所成角的取值范围是（0°，90°].若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.§1.2.3直线与平面的位置关系
1.三种位置关系（1）直线在平面内――有公共点．图像：
符号表示：
（2）相交――只有共点；图像：
符号表示：
（3）平行公共点； 图形：
符号表示：
.2.直线与平面平行的判定定理和性质定理
判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 则该直线与此平面平行.线线平行线面平行符号表示：
图形：
性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行
符号表示：
图形：
3.直线与平面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.线线垂直线面垂直
符号表示：
图形
性质定理：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.线面垂直线线垂直
符号表示：
图形：
②如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.符号表示：
图形
4.直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.直线和平面所成角的取值范围是[0°，90°].图形：
§1.2.4平面与平面的位置关系
1.两平面平行的判定定理和性质定理
判定定理：
①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行面面平行）；符号表示：
图形：
②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行面面平行）；符号表示：
图形：
③垂直于同一条直线的两个平面平行；
符号表示：
图形：
性质定理： ①如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行；（面面平行线面平行）
符号表示：
图形：
②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行；（面面平行线线平行）
符号表示：
图形：
2.两平面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直面面垂直）符号表示：
图形：
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直线面垂直）
符号表示：
图形：
3.二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线l出发的两个半平面,所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作l.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③二面角的取值范围[ 0°, 180° ]，平面角是直角的二面角叫直二面角.一、选择题
1．设 ，为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l，m⊂，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么()．
A．①是真命题，②是假命题
C．①②都是真命题B．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()． ．．
A．BD∥平面CB1D
1B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1角为60°
3．关于直线m，n与平面，，有下列四个命题：
①m∥，n∥且∥，则m∥n；
③m⊥，n∥且∥，则m⊥n；
其中真命题的序号是()．
A．①②B．③④C．①④D．②③(第2题)
②m⊥，n⊥且⊥，则m⊥n； ④m∥，n⊥且⊥，则m∥n．
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是()． ．
A．1B．2C．3D．
45．下列命题中正确的个数是()
①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥
②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点
A．0个B．1个C．2个D．3个
6． 两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面()．
A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()．
A．90°B．60°C．45°D．30°
8．下列说法中不正确的是()． ．．．．
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是()．
A．4B．3C．2D．1
10．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为()．
A．[30°，90°]B．[60°，90°]C．[30°，60°]
二、填空题
11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为．
12．P是△ABC 所在平面外一点，过P作PO⊥平面，垂足是O，连PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC 的心；
(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC 的心；
(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC 的心；
(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90º，则O是AB边的(5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边
分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，(第13题)D．[30°，120°] 点； 线上． J 的中点，G，H，I，JDF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为．
14．直线l与平面 所成角为30°，l∩＝A，直线m∈，则m与l所成角的取值范围 是．
15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为．
16．直二面角－l－的棱上有一点A，在平面，内各有一条射线AB，AC与l成45°，AB，AC，则∠BAC＝．
三、解答题
17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
(1)求证：BC⊥AD；
(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A
(3)设二面角A－BC－D的大小为 ，猜想 为何值
体积最大．(不要求证明)
18． 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值.(第18题)(第17题)
－BC－D的正弦值； 时，四面体A－BCD的19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝1
2．(1)求四棱锥S—ABCD的体积；
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是
所求二面角的棱.)
(第19题)
