椭圆点在定直线上直线垂直安徽_直线和椭圆垂直问题

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点在定直线上直线垂直

求出点的坐标消参，相当于求轨迹

xy18．[2013·安徽卷] 设椭圆E2＋2＝1的焦点在x轴上． a1－a设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．

18．解：设P(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2a－1.由题设知x0≠c，y0则直线F1P的斜率kF1P＝，x0＋c

直线F2P的斜率kF2P＝y0 x0－c

y0－c)． x0－c22故直线F2P的方程为y＝

cy0cy0x＝0时，yQ的坐标为（0，.c－x0c－x0

因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝y0c－x0

y0y01.x0＋cc－x0由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝

222化简得y0＝x0－(2a－1)．①

22将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a，y0＝1－a，即点P

在定直线x＋y＝1上．