两直线平行与垂直_两直线垂直与平行

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两条直线的平行与垂直导学案

姓名班级主编：李潭潭审编：李平原

学习目标

1． 掌握利用斜率判断两条直线平行和垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想；

2． 通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯． 学习重点与难点

本节课的重点是用斜率判断两直线平行与垂直的方法。

教学过程

问题情境

斜率刻画了直线的倾斜程度，那么，能否用斜率刻画两条直线的位置关系呢？ 首先看两直线平行的情况：

——两条直线（斜率存在）平行，即倾斜程度相同，那么它们的斜率如何？——如果两条直线的斜率相等，那么它们平行吗？

一、学生活动、建构数学

探究：两条直线平行，即倾斜程度相同，那么它们的斜率如何？

二、数学理论、数学运用

两条直线平行的条件

一般地，设直线l1，l2（不重合，斜率存在）所对应的斜率分别为k1，k2，则

说明：

（1）如果直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，从而l1//l2；

（2）在利用以上结论判断两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论．

（3）若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1，A2，B1，B2全不为零）平行，那么两直线平行的等价条件为.两条直线重合的等价条件为

欢中高二数学导学案-1-

例1（课本P78例1）

求证：顺次连结A（2，−3），B（5，

7），C（2，3），D（−4，4）四点所得的四边形

2是梯形．

例2（课本P79例2）

求过点A（2，−3），且与直线2x+y−5=0平行的直线的方程.练习：课本82页：1,2

再看直线垂直的情况：若l1⊥ l2（l1、l2都不与x轴垂直）一．学生活动

如图：作出两个直角三角形。（直角边分别平行于坐标轴）

PQ

ST

=k2设l1、l2的斜率为k1、k2，则：=k1，QRPS

由于Rt⊿PST∽Rt⊿PQR（因为∠TPS=∠RPQ）故

STQR

= PSPQ

从而k1=－

即k1k2=－1 k

2反过来，若k1k2=－1，则l1⊥ l2。

二．数学理论：

因此，我们得到：

当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么，它们的斜率的乘积等于－1。反之；如果它们的斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直。即：还有其他的证明方法吗？（运用三角函数解决）

思考题：若l1、l2其中一条直线的斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？逆命题成立吗？

若一条直线的斜率不存在，且l1⊥ l2，则另一条直线的斜率为0。逆命题同样成立。三．理论应用： 例3：（1）已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3,-4)，D(-6,11)求证：AB⊥CD

(2)已知直线l1的斜率k1=，直线l2经过点A(3a，－2)，4B（0,a＋1），且l1⊥ l2，求实数a的值

例4.如图：已知三角形的顶点为A(2,4), B（1,-2），C(-2,3),求BC边上的高AD所在的直线方程。

练习：判断两条直线的是否垂直：

2x3y75x2y5（1）（2）

3x2y42x5y3

（3）

2xy5x

3（4）

6x3y4y0

如果它们垂直，试分别计算A1A2+ B1B

2结论：（若两直线斜率存在）对于两直线l1：A1x+B1y+C1＝0和l2：A2x+B2y+C2＝0,若l1⊥ l2，则A1A2+ B1B2＝0

例5在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线（精确到0.01m）

四．课堂小结：

1.直线平行与垂直的条件（用斜率刻画）

2.直线平行与垂直的条件（在一般式下的表达）

五．课后反思：六．课外作业

1、直线mx+y−n=0和直线x+my+1=0平行的条件是

2、分别求满足下列条件的直线方程：

（1）经过点A(3,2)，且与直线4x+y-2=0平行

（2）经过点C(2,-3), 且平行于过两点M(1,2)和N(-1,-5)的直线；

3.求与直线3x+4y+9=0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程。

4、已知直线a与直线m：2x+3y-5=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为1，求直线a的方程

5、求经过点M(-2,1)且与点A(-1,2)、B(3,0)距离相等，又不与直线AB相交的直线方程6.（1）过原点O作直线l的垂线，垂足为点N（-2，1），则直线l的方程为.（2）直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+(a-1)y+a-1=0垂直，则a=.7.已知直线l1经过点A(2,a),B(a1,3)，直线l2经过点C(2,2),D(2,a2),（1）若l1//l2,求 a的值；（2）若l1l2,求a的值。