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圆柱在抽动纸张上运动规律的探究

李权

赵敏（同济大学物理科学与工程学院物理演示实验室 上海 200092）

摘要：本文介绍开展研究型学习的一个实例。通过定性实验现象，激发学生探究兴趣；通过开展现象的物理分析，培养学生理论分析能力；通过半定量实验测量，提升学生的实验研究能力。

关键词：抽动纸张，运动规律

水平桌面上有一张纸，放一个圆柱形物体在纸上。快速抽出纸张，观察并研究圆柱体在静止前的运动情况。显而易见，圆柱体的运动为两种方式的结合，一为平动，一为滚动。但是，在静止前，圆柱体会向抽纸的方向运动、还是向相反方向运动？是滚动还是平动？滚动的方向与平动的方向一致吗？要解答这些问题，关键在于了解运动的不同阶段中，圆柱体所受的摩擦力作用。下面，我们将从动力学角度，来深入探究圆柱体的运动过程及其影响因素，并详细探讨其在静止前的运动情况。

一．理论分析

通过粗略实验，可以观察到，圆柱体离开纸面后，在桌面上移动时，有三种运动方式，分别为圆柱体平动先停（图1）、圆柱体滚动先停（图2）、圆柱体平动与滚动同时停止（图3）。为方便研究，我们将圆柱体平动与滚动分开探讨，并规定向右抽纸的方向为平动速度v正方向，圆柱体逆时针滚动的方向为滚动角速度正方向。

图1 圆柱体在桌面上平动先停

图2 圆柱体在桌面上滚动先停

图3 圆柱体在桌面上平动与滚动同时停止

假设圆柱体在运动过程中，只受滑动摩擦力与滚动摩擦力作用，如图4所示，忽略空气阻力、以及纸面与桌面交界处的能量损失。由于整个过程中，圆柱与纸面间的滑动摩擦力和滚动摩擦力，圆柱与桌面间的滑动摩擦力和滚动摩擦力，只与圆柱体质量m、圆柱体转动惯量I、纸面与圆柱之间的滑动摩擦系数纸、纸面与圆柱之间的滚动摩擦系数K纸、桌面与圆柱之间的滑动摩擦系数桌、桌面与圆柱之间的滚动摩擦系数K桌有关，且这些物理量均可近似为定值，所以圆柱体在每个运动阶段的受力均近似认为是恒力。故上图中不同阶段的v-t图像均为直线，只是斜率不同而已。

Nf

图4 圆柱体受力分析图

引入圆柱体在纸面上的平动加速度a1与角加速度

1、圆柱体在桌面上的平动加速度a2与角加速度2。设圆柱体在纸张上运动的时间为t1，t1时刻的平动速度为v1，角速度为1。设圆柱体脱离纸面后在桌面上运动的时间为t2（t2从圆柱脱离纸面时刻开始计时），t2时的平动速度为v2，角速度为2。令圆柱质心平动速度为0时，t2t平动停止。

当圆柱在纸面上运动时，根据运动学公式和牛顿第二定律，有圆柱所受的滑动摩擦力满足：

f纸纸N纸mgma

1（1）

则圆柱在纸面上的平动速度

v1a1t1纸gt1

（2）圆柱所受的滚动摩擦力矩满足

f纸rNK纸I1

（3）

圆柱在纸面上的滚动速度

11t1mg(纸rK纸)t1I

（4）

在桌面上运动时，有圆柱所受的滑动摩擦力满足：

f桌桌N桌mgma（5）

圆柱在桌面上的平动速度

v2v1圆柱所受的滚动摩擦力矩满足

f桌mt2N(1t12t2)

（6）mf桌rNK桌I2

（7）

圆柱在桌面上的滚动速度

21N(桌rK桌)tImg[(纸rK纸)t1-(桌rK桌)t2]

（8）I当圆柱质心速度为0时，平动停止，此时对应时间t2t平动停止纸t1，相应的圆柱转动角速度为 桌平动停止Nt1mgt1[K桌纸K纸][K桌纸K纸桌]

（9）I桌I桌由（9）式可知圆柱静止前的运动情况。若平动停止0，这说明转动方向尚未改变，也就是说圆柱的平动比转动先停；同理，若平动停止0，则圆柱的滚动先停止；若平动停止0，则圆柱的平动与滚动同时停止。也就是说，K桌纸K纸桌的大小直接影响了圆柱体静止前的运动状态。二．实验验证

为了解以上理论分析的正确与否，我们分别实验测量了纸、桌、K纸、K桌四个物理量，并通过高速相机观察圆柱整个运动过程，进行实验验证。

首先来看塑料圆柱在抽动纸面上的运动。实验得到纸面与塑料圆柱之间的滑动摩擦系数纸0.38，桌面与塑料圆柱之间的滑动摩擦系数

桌0.25，纸面与塑料圆柱之间的滚动摩擦系数，桌面与塑料圆柱之间的滚动摩擦系数K桌0.03854m。计算可得，对于塑料圆柱，K纸0.08742m有纸K桌桌K纸0.007403m0。根据（9）式可知，平动停止0，即圆柱的滚动先停止，然后其质心平动才停止。这与图5中的塑料圆柱在抽动纸面上的运动现象完全相符。

然后来看木质圆柱在抽动纸面上的运动。实验得到纸面与木质圆柱之间的滑动摩擦系数纸0.4286，桌面与木质圆柱之间的滑动摩擦系数桌0.381，纸面与木质圆柱之间的滚动摩擦系数，桌面与木质圆柱之间的滚动摩擦系数K桌0.001m。计算可得，对于木质圆柱，有K纸0.0013m纸K桌桌K纸0.0000647m0。仍然是圆柱的滚动先停止，然后其质心平动才停止。这与图6中的木质圆柱在抽动纸面上的运动现象也十分相符。

三．

总结

通过以上的讨论可知，圆柱体在抽纸后的运动过程，与它和纸张、桌面的滑动摩擦系数和滚动摩擦系数有关。若K桌纸K纸桌0，则圆柱体的平动先停止，随后滚动才停止；若K桌纸K纸桌0，则圆柱体的滚动先停止，随后圆柱体质心停止平动；若K桌纸K纸桌0，则圆柱体的平动与滚动两种运动形式同时停止。

（感谢同济大学物理演示实验室在本题目的探究过程中，在实验装置及理论分析方面给予的有力指导。）

参考文献 [1]漆安慎 等.力学.北京：高等教育出版社.1996：305

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