高中数学第十章排列组合_排列组合高中数学组卷

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高三数学总复习................................................................高考复习科目：数学

高中数学总复习

（九）复习内容：高中数学第十章-排列组合 复习范围：第十章 编写时间：2004-7 修订时间：总计第三次 2005-4

一、两个原理.1.乘法原理、加法原理.2.可以有重复元素的排列.．．．．．．．从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn..例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？

（解：m种）

二、排列.1.⑪对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m．．．．．．个元素的一个排列.⑫相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑬排列数.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n

m个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示.n⑭排列数公式：

Amn(n1)(nm1)n!(mn,n,mN)

(nm)!注意：nn!(n1)!n!

规定0!= 1

mmmm1mm1mm10

An

规定CnCnAnnAnn1 1AnAmCnAnmAn12.含有可重元素的排列问题.．．．．．．对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于nn!.n1!n2!...nk!例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n数n3!1.3!

三、组合.(12)!3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个1!2!1.⑪组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.高中数学高考总复习

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m⑫组合数公式：CmAnn(n1)(nm1)nmAmm!Cmnn!

m!(nm)!nmm1mm⑬两个公式：①CmnCn;

②CnCnCn1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是1m1m含红球选法有CmnC11Cn一类是不含红球的选法有Cn）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C⑭排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑮①几个常用组合数公式

012n CnCnCnnn2m1n，如果不取这

mn1m种，依分类原理有CmnCmnCn1.024135CnCnCnCnCnCn2n1mmmm1CmnCm1Cm2CmnCmn1kCnCknk1n1

111CkCknn1k1n1②常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如：123n1n1111）（利用2!3!4!(n1)!(n1)!n!(n1)!n!ii.导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.m1m3333v.递推法（即用CmCnCn4nCnCn1递推）如：C3C4C51.02122nvi.构造二项式.如：(Cn)(Cn)(Cnn)C2n证明：这里构造二项式(x1)n(1x)n(1x)2n其中x的系数，左边为

01n12n2n00212n2，而右边C2n CnCnnCnCnCnCnCnCn(Cn)(Cn)(Cn)nn

四、排列、组合综合.1.I.排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法.②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(mn)个元素必相邻的排列有Anm1Am个.其中Anm1是一个“整体排列”，而Am则是“局部排列”.22又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An.An11A2nm1mnm1m高中数学高考总复习

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12.②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有Ann1A221.③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有AnAnn1注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不2确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.mm例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？An（插空法），当n nmAnm1– m+1≥m, 即m≤n1时有意义.2⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，m(mn)个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有

AnnAmm种排列方法.例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）

mAnn/Am.⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

nnCknC(k1)nnCnAkk.C2例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有43（平均分组就用不着管组

2!与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（P82C18C210C20/2!）

注意：分组与插空综合.例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？mmm有An，当n – m+1 ≥m, 即m≤n1时有意义.nmAnm1/Am2⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：x1x2x3x412的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1x2x3x412，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的3解的组数等于插隔板的方法数C11.x1x2x3x4注意：若为非负数解的x个数，即用a1,a2,...an中ai等于xi1，有x1x2x3...xnAa11a21...an1A，进而转化为求a的正整数解的个数为CAn.⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r高中数学高考总复习

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n1r个指定位置则有ArrAknr.例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？

m1m1m1或m，1；固定在某一位置上：不在某一位置上：（一类是不取出特殊元素a，有AnAnAmAm1Am1An1nAn11n1一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）

⑩指定元素排列组合问题.i.从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内。先C后Akrkrkr策略，排列CrrCnrAk；组合CrCnr.ii.从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后Akk策略，排列CnrAk；组合Cnkr.iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个

ksksks元素中的s个元素。先C后A策略，排列CrsCnrAk；组合CrCnr.II.排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.2.组合问题中分组问题和分配问题.①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以Ak.rk244例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C10.若分成六组，各组人C8C4/A22***数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为C10 C9C8C6C4C2/A22A4②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为AAm m233例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：C10种.C8C55A3234若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有C10种 C8C5A33③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为m.A/ArrAm例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为C10C8C4A3

32244A2④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，k不管是否分尽，其分法种数为ACn1Cn-2m1…Cn-(m1m2...mk-1)

mmm235例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C10C8C52520若从10人中选出6人分成三

123组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为C10C9C712600.高中数学高考总复习

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五、二项式定理.0n01n1rnrrn0n1.⑪二项式定理：(ab)nCnabCnabCnabCnab.展开式具有以下特点： ① 项数：共有n1项；

012r② 系数：依次为组合数Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cnn;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑫二项展开式的通项.rnrr（ab)n展开式中的第r1项为：Tr1Cnab(0rn,rZ).⑬二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大.．．．．．

nI.当n是偶数时，中间项是第1项，它的二项式系数C2n最大；

2n1n1II.当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第1项，它们的二项式系数C22③系数和：

01nCnCnCnn202413CnCnCnCnCn2n1n1n12C2最大.nnn

附：一般来说(axby)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解.当．．．．．．．．．．．

AkAk1,AkAk1或(Ak为Tk1的系数或系数的绝对值）的a1或b1时，一般采用解不等式组AAAAkk1kk1办法来求解.pqr⑭如何来求(abc)n展开式中含abc的系数呢？其中p,q,rN,且pqrn把

r(abc)n[(ab)c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(ab)nrCr，另一方面在(ab)nr中qpqrrqpqrqnrqqqpq含有b的项为Cnr故在(abc)n中含abc的项为CnCnrabc.其系数为abCnrab，rCnCnqr(nr)!n!n!pqrCnCnpCr.r!(nr)!q!(nrq)!r!q!p!2.近似计算的处理方法.当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1a)1na，因为这时展开式的后面部分2233nnCnaCnaCna很小，可以忽略不计。类似地，有(1a)n1na但使用这两个公式时应注意a

n的条件，以及对计算精确度的要求.高中数学高考总复习

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