二进制算法_类二进制算法
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二进制乘法和加法都是通过对二进制数的移位来实现的，移位相当于×2，计算机算根据给出的加法式子与乘法式子算要移多少位。扩展：
1、二进制数据的表示法
二进制数据也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。例如二进制数据110.11，其权的大小顺序为2^2、2^1、2^0、2^-
1、2^-2。对于有n位整数，m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示，可写为：
（a(n-1)a(n-2)…a(-m)）2＝a(n-1)×2^(n-1)+a(n-2)×2^(n-2)+……+a(1)×2^1+a(0)×2^0+a(-1)×2^(-1)+a(-2)×2^(-2)+……+a(-m)×2^(-m)
二进制数据一般可写为：（a(n-1)a(n-2)…a(1)a(0).a(-1)a(-2)…a(-m)）2。
注意：
1.式中aj表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。
2.a(n-1)中的(n-1)为下标，输入法无法打出所以用括号括住，避免混淆。
3.2^2表示2的平方，以此类推。
【例1102】将二进制数据111.01写成加权系数的形式。
解：（111.01）2＝(1×2^2)+(1×2^1)+(1×2^0)+(0×2^-1)+(1×2^-2)
二进制和十六进制，八进制一样，都以二的幂来进位的。
二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。最常用的是加法运算和乘法运算。
1.二进制加法
有四种情况： 0+0＝0
0+1＝1
1+0＝1
1+1＝10 进位为1
【例1103】求(1101)2+(1011)2 的和
解：
1 1 0
1+ 1 0 1 1
-------------------
1 1 0 0 0
2.二进制乘法
有四种情况： 0×0＝0
1×0＝0
0×1＝0
1×1＝1
【例1104】求(1110)2 乘(101)2 之积
解：
1 1 1 0
× 1 0 1
-----------------------
1 1 1 0
0 0 0 0
1 1 1 0
-------------------------0 0 0 1 1 0
(这些计算就跟十进制的加或者乘法相同，只是进位的数不一样而已,十进制的是到十才进位这里是到2就进了)
3.二进制减法
0－0＝0，1－0＝1，1－1＝0，10－1＝1。
4.二进制除法
0÷1＝0，1÷1＝1。[1][2]
5.二进制拈加法
拈加法二进制加减乘除外的一种特殊算法。
拈加法运算与进行加法类似，但不需要做进位。此算法在博弈论（Game Theory）中被广泛利用。
十进制数转换为二进制数、八进制数、十六进制数的方法：
二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数的方法：按权展开求和法
1．二进制与十进制间的相互转换：
（1）二进制转十进制
方法：“按权展开求和”
例：（1011.01）2 ＝（1×2^3＋0×2^2＋1×2^1＋1×2^0＋0×2^(-1)＋1×2^(-2)）10
＝（8＋0＋2＋1＋0＋0.25）10
＝（11.25）10
规律：个位上的数字的次数是0，十位上的数字的次数是1，......，依奖递增，而十
分位的数字的次数是-1，百分位上数字的次数是-2，......，依次递减。
注意：不是任何一个十进制小数都能转换成有限位的二进制数。
（2）十进制转二进制
· 十进制整数转二进制数：“除以2取余，逆序排列”（除二取余法）
例：（89）10 ＝（1011001）2 89 ……44 ……022 ……011 ……15 ……1 2 ……0
· 十进制小数转二进制数：“乘以2取整，顺序排列”（乘2取整法）
例：(0．625)10=(0．101)2
0.625X2=1.25 ……1
0.25 X2=0.50 ……0
0.50 X2=1.00 ……1
2．八进制与二进制的转换：
二进制数转换成八进制数：从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每3位为一组用一位八进制数的数字表示，不足3位的要用“0”补足3位，就得到一个八进制数。
八进制数转换成二进制数：把每一个八进制数转换成3位的二进制数，就得到一个二进制数。
八进制数字与二进制数字对应关系如下：
000-> 0 100-> 4
001-> 1 101-> 5
010-> 2 110-> 6
011-> 3 111-> 7
例：将八进制的37.416转换成二进制数：7 ． 4 1 6
011 111 ．100 001 110
即：（37.416）8 ＝（11111.10000111）2
例：将二进制的10110.0011 转换成八进制：
0 1 0 1 1 0.0 0 1 1 0 06.1 4
即：（10110.011）2 ＝（26.14）8
3．十六进制与二进制的转换：
二进制数转换成十六进制数：从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每4位为一组用一位十六进制数的数字表示，不足4位的要用“0”补足4位，就得到一个十六进制数。
十六进制数转换成二进制数：把每一个十六进制数转换成4位的二进制数，就得到一个二进制数。
十六进制数字与二进制数字的对应关系如下：
0000-> 0 0100-> 4 1000-> 8 1100-> C
0001-> 1 0101-> 5 1001-> 9 1101-> D
0010-> 2 0110-> 6 1010-> A 1110-> E
0011-> 3 0111-> 7 1011-> B 1111-> F
例：将十六进制数5DF.9 转换成二进制： D F ． 9
0101 1101 1111 ．1001
即：（5DF.9）16 ＝（10111011111.1001）2
例：将二进制数1100001.111 转换成十六进制：
0110 0001 ． 1110 1 ． E
即：（1100001.111）2 ＝（61.E）16
2.二进制数的逻辑运算
• 逻辑运算结果是“1”或“0”，它代表了所要研究问题的两种状态或可能性，赋予逻辑含义，可以表示“真”与“假”、“是”与“否”、“有”与“无”。
• 计算机中，只有用“1”或“0”两种取值表示的变量，即具有逻辑属性的变量称为逻辑变量。
• 逻辑运算与算术运算的主要区别是：逻辑运算是按位进行的，位与位之间不像加、减运算那样有进位或借位的联系。• 逻辑运算包括三种基本运算：逻辑加法、逻辑乘法和逻辑否定。此外，还可以导出异或运算、同或运算以及与或非运算等。下面介绍4种运算：
（1）逻辑加法（又称“或”运算）A.运算符
逻辑加法通常用符号“+”或“∨”来表示。设逻辑变量A、B、C，它们的逻辑加运算关系是：A+B=C 或者写成 A∨B=C，读作“A或B等于C”。B.逻辑加运算规则 A + B = C A ∨ B = C 0 + 0 = 0 0 ∨ 0 = 0 0 + 1 = 1 0 ∨ 1 = 1 1 + 0 = 1 1 ∨ 0 = 1 1 + 1 = 1 1 ∨ 1 = 1 结论：在给定的逻辑变量中，只要有一个为1，“或”运算的结果就为1。
（2）逻辑乘法（又称“与”运算）A.运算符
逻辑乘法通常用符号“×”或“∧”或“Ÿ”表示。
设逻辑变量A、B、C，它们的逻辑乘运算关系是：AB = C，A ∧ B = C，AŸB = C。读作“A与B等于C”。B.逻辑乘运算规则
A × B = C A ∧ B = C AŸB = C 0 × 0 = 0 0 ∧ 0 = 0 0Ÿ0 = 0 0 × 1 = 0 0 ∧ 1 = 0 0Ÿ1 = 0 1 × 0 = 0 1 ∧ 0 = 0 1Ÿ0 = 0 1 × 1 = 1 1 ∧ 1 = 1 1Ÿ1 = 1 结论：逻辑乘法是“与”的含义，它表示只有参加运算的逻辑变量取值都为1时，逻辑乘积才等于1。（3）逻辑否定（非运算）A.运算符
逻辑非运算是在逻辑变量的上方加一横线。B.运算规则
设逻辑变量A，其运算规则为： A A 0 1 读作0非等于1 1 0 读作1非等于0（4）异或逻辑运算 A.运算符
“异或”运算通常用符号“⊕”表示。B.运算规则
按位加，即不带进位的加法。
设逻辑变量A、B、C，它的运算规则为：A ⊕B = C，读作：“A同B‘异或’等于C”。A⊕B = C 0⊕0 = 0 0⊕1 = 1 1⊕0 = 1 1⊕1 = 0 结论：在A、B两个逻辑变量中，只要两个逻辑变量的值相同，“异或”运算的结果就为0；当两个逻辑变量的值不同时，“异或”运算的结果才为1。
以上介绍的四种逻辑运算在汇编和高级语言里，常用“OR”表示“或”，“AND”表示“与”，“NOT”表示“非”，“XOR”表示“异或”。
需要指出的是，计算机可以一次对不同种类的多个逻辑变量进行运算，它们将按照逻辑运算符的优先顺序进行，最终出现一个结果“真”（用1表示）或“假”（用0表示）。
