高中数学必修5不等式中均值不等式链的几种证法_高中必修五均值不等式

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关键词：基本不等式高中数学教学随笔必修5 >> 不等式

均值不等式链

aba2b

2ab基本不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当ab时等号成立。22ab

2aba2b222ab 注：算术平均数---2；几何平均数---ab；调和平均数---ab；平方平均数---2

ab

证明1：（代数法）

（1）a0，b0(a)20ab2abab

2ab；

（2）ab212abab2

2ab0ababababab；

ab

222b2)2aba2b2a2b2(ab)2a2

（3）ab2ab2(ab2ab

2422；

综上，2

abab

2a2b2

2，当且仅当ab时“”成立。

ab

证明2：（几何法）

G

A

B

如图，ACa，BCb，ABab，以AB为直径作圆O，则

图1：ODab，DCOD

2，DCababab

2；

图2：DCab，DEDC222ab

ODab

ab，DEDCabab；

aba2b2

图3：OCaba2b2

2，GC2，OGGC22； 综上，2aba2b2

ab22，当且仅当ab时“”成立。

ab

授之以鱼，不如授之以渔。

1界首一中2011-01 证明3：（几何法）

作梯形ABCD，使AD//BC，B90，ADBCCD，令ADa，BCb，(ba)，E、F分别是AB、CD的中点，过E作EGCD于G，过G作GHAB于H，在EB上截取EN则E、F分别是AB、CD的中点，EF

ED平分ADCEGEAba，2ba，21ABab，2DGaADCGBCDG2abGHDGDA，GCBC，即GH，GCbabab

baa2b2

EN，NF22

2ababa2b2

显然，GHEGEFFN，∴ abab22

2ababa2b2

当“ab”时。abab22

证明4：（几何法）

(ba)，作梯形ABCD，使AD//BC，B90，ADBCAB，令ADa，BCb，在AB上截取AEADa，AFBCb，则BEb，BFa

过E作EGAB交CD于G，过F作FOCD于O，过O作OHAB于H，在EH、GO上分别取点M、N，使梯形EGNM与梯形MNOH相似，1a2b2

则ADBF，AFBC，DFCFabCODOOFCD，2222

ADBCab22，ADBEBCAE2abAEa，BEbEG，abab

EGMNMNEGOHab 梯形EGNM与梯形MNOH相似MNOHOCODOH

2ababa2b2

显然，EGMNOHOF，∴ ab22

2ababa2b2

当“ab”时。abab22问题是思考的结果，是创造的开始。