数理方程分离变量法（优秀）_数理方程分离变量法

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第八章

分离变量法

22u2ua0xl,t022tx u(0,t)0,u(l,t)0t0u(x,0)u(x,0)(x),(x)0xlt对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数

分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x、t两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。

分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。

叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。（2）物理上 由叠加原理作保证。例：有界弦的自由振动

1.求两端固定的弦的自由振动的规律

22u2ua0xl,t022tx u(0,t)0,u(l,t)0t0u(x,0)u(x,0)(x),(x)0xlt第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题）令u(x,t)X(x)T(t)

这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。

第二步：代入方程

（偏微分就可写成微分的形式，对于u有两个变量，但对于X、T都只有一个变量）

X(x)T(t)a2X(x)T(t)

变形得X(x)T(t)=  X(x)a2T(t)左边与t无关，右边与x无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。由于x, t 是相互

独立的变量，上式必然等于同一常数。

方程左边为关于x的函数，方程右边为关于t的函数，只有当左右两边都等于常数的时候才成立 令其为（得到的两个常微分方程形式比较标准）

X(x)X(x)0

T(t)a2T(t)0

得到两个常微分方程 第三步：代入边界条件

得到：X(0)T(t)0

X(l)T(t)0，由于是t>0得值，T(t)是一个范围内不固定的值，所以X(0)0

X(l)0

常微分方程含，未知，需要对进行讨论

X(x)X(x)0，X(0)0

X(l)0

特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程子一定条件下的求解问题。特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 第四步：确定特征值并得到它的特征函数 分情况讨论：

1）

x把定解条件X(0)0

X(l)0代入通解X(x)Ae得到A+B=0

Bex

AelBel0

x于是A=B=0X(x)AeBex即X(x)=0 则u(x,t)X(x)T(t)=0，零解无意义 即0时, X(x)X(x)0

令2（为非零实数）

特征方程为R0,特征根为虚数：R-i 通解为X(x)AcosxBsinx（A、B为待定系数）

把定解条件X(0)0，X(l)0代入通解X(x)AcosxBsinx 2X(0)0得到A =0，即X(x)Bsinx X(a)0得到Bsinl0

在B≠0的情况下，有sinl=0，即n为非零实数）

现在就完成了用分离变量法求解X（x）的部分，得到特征值为nn(数为：X(x)Bnsin2n（n=1,2,3，…注意n≠0，若n=0，则=0，0而ln2)，所对应的特征函lnx ln2)代入 l下面求解关于t的常微分方程

T(t)T(t)0，将n(2n22Tn(t)aTn(t)0，这种情况的通解与X(x)X(x)0的>0的情况相同。

l2cos即Tn(t)CnnatnatsinDn

（n=1,2,3，…）

ll至此Xn(x)与Tn(t)都求出来了，所以定解问题的n个特解（这n个特解均满足边界条件）为：

un(x,t)Xn(x)Tn(t)=(CncosnatnatnDnsin)sinx

（n=1,2,3，…）lll根据叠加原理，特解的叠加仍是方程的解，所以得到通解

u(x,t)un(x,t))

i1n=(Cncosi1nnatnatnDnsin)sinx（n=1,2,3，…）lllu(x,0)(x)求解）t其中Cn、Dn为待定系数（利用初始条件u(x,0)(x),第五步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数

u(x,t)(Cncosi1nnatnatnDnsin)sinx lll

u(x,t)t0u(x,0)

Cnsini1nnx(x)l(i1nu(x,t)ti1nt0natnatnanatnCnsinccos)sinxt0 lllllnanDnsinx(x)ll(x)与(x)正是傅里叶正弦级数，Cn、Dn是傅里叶系数。

利用三角函数的正交性

l1cos(2n/l)nlxdxdx 00l22lnm1lnmnmsinxxdx[coscosxx]dx0（m≠n）0ll20lllsin2lmnml得到：(x)sinxdxCnsinxxdxCn

00lll2n0l2lm(x)sinxdx 0lll2lm2lm(x)sinxdx(x)sinxdx 同理，Dnnal0lna0l于是得到：Cn回顾整个求解过程，可作出分离变量法流程图

u|t0(x)u|t0(x)uta2uxxu|x0u|xl0X(0)X(L)0分离变量流程图uT(t)X(x)T'/(a2T)X“/XT'a2T0TAexp(a2t)X”X0Xsinx,nlunTn(t)Xn(x)uu(x,t)2.解的性质

uTnXn

un(x,t)=(Cncos于x的函数）natnatnDnsin)sinx---------方程的特解（前面是关于t的函数，后面是关lllun(x,t)=(CncosnnatnatnDnsin)sinx=Ancos(ntn)sinx llllnaD，narctann lCn22其中：AnCnDn，n当xx0时，un(x,t)=Ansin点的振动方程）。

nx0cos(ntn)---------弦上确定的一点以频率n做振动（弦上某lnx----------某一时刻，特解为正弦函数的形式，所有点l当tt0时，un(x,t)=Ancos(nt0n)sin的位置，波动方程（驻波的方程），每个特解代表一个驻波，因此分离变量法又称为驻波法。

标准的驻波方程：y2Acos2xcost

sinn2x的（驻波）波长为nl（n=1,2,3，…）

nl

频率：fnnna 22lna2T la2ln波速：vnfnn3.分离变量法概要：

（1）作分离变量假设，代入方程和边界条件中得到固有值问题（2）确定固有函数和固有值（3）写出定解问题的特解（4）将特解叠加无，给出通解

（5）用初始条件确定通解系数（傅立叶展开）4.回顾整体思路：

2u(x,0)2u2u(x)

定解问题2a初始条件u(x,0)(x), 边界条件u(0,t)0,u(l,t)0 2ttx22u2ua将假设u(x,t)X(x)T(t)代入方程，此偏微分方程得到两个常微分方程t2x2X(x)X(x)0

T(t)a2T(t)0。

将边界条件u(0,t)0,u(l,t)0代入u(x,t)X(x)T(t)，得到X(0)0、X(l)0，求解已知定解条件的常微分方程X(x)X(x)0的特征值为nn(n2n)，特征方程Xn(x)Bnsinx，llnatnatcossinDn求解T(t)a2T(t)0的特征函数Tn(t)Cn，所以

llnatnatnDnsin)Bnsinx。un(x,t)Xn(x)Tn(t)=(Cncoslll2根据叠加原理，特解的叠加是方程的通解，所以得到：

u(x,t)un(x,t))i1n=

(Cncosi1nnatnatnDnsin)sinxlll，将初始条件u(x,0)(x),u(x,0)(x)代入，求解待定系数Cn、Dn（傅立叶展开）。tx(10x)，求弦做

1000分离变量法的适用条件：任何二阶线性（齐次）偏微分方程

例一：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速度为零，初位移为(x)微小横振动时的位移。

22u4u100x10,t022tx u(0,t)0,u(10,t)0t0x(10x)u(x,0)u(x,0),01000t解：设u(x,t)X(x)T(t)，代入

X1T4 X10T4得到：X(x)X(x)0

T(t)10T(t)0

u(0,t)X(0)T(t)0,u(10,t)X(10)T(t)0

X(x)X(x)0,0x10得到本征值问题：，

X(0)0,X(10)0经讨论20时，有非零解，X(x)AcosxBsinx

X(0)A0,X(10)Bsin100，n2n，n=1,2,3，… 10nn22x 得到特征值：

得到特征方程：Xn(x)Bnsin10100于是：T(t)100n2cos10ntDnsin10nt 2T(t)0，其解为Tn(t)Cnun(x,t)Xn(x)Tn(t)

ncos10ntDnsin10nt)x(Cn10nx =(Cncos10ntDnsin10nt)sin10Bnsinu(x,t)un(x,t))=(Cncos10ntDnsin10nt)sini1n1nnx 10将初始条件u(x,0) Cnsin10nt n1x(10x)

1000210x(10x)nsinxdx运用分部积分法求解 010100010110nx(10x)sinxdx

=5000010n为偶数20=44(1cosn)4

n为奇数5n5n44Cnu(x,0)nanDnsinx0，故Dn=0.tlln1所以uun(x,t))=i1n1n(2n1)4sinx cos10(2n1)t105(2n1)4422u2ua0xl,t022txu(l,t)例二： u(0,t)0,0t0xu(x,0)x22lx,u(x,0)00xlt解：设u(x,t)X(x)T(t)，代入

X1T2 XaT得到：X(x)X(x)0

T(t)a2T(t)0

u(0,t)X(0)T(t)0u(l,t)0x

X(0)0

 u(l,t)X(l)T(t)0xX(l)0

X(x)X(x)0,0xl得到本征值问题：，

X(0)0,X(l)0经讨论0，X(x)AexBex（A、B为待定系数）

x把定解条件X(0)0

X(l)0代入通解X(x)Ae得到A+B=0

Bex

AelBel0

于是A=B=0即X(x)=0 =0时, X(x)X(x)0，有X(x)AxB，A=B=0即X(x)=0 20时，X(x)X(x)0，X(x)AcosxBsinx

X(0)0X(l)0所以n A0

X(x)Bcosl0

(2n1) n=1,2,3，… 2l2(2n1)(2n1)22X(x)Bsinx 写出特征值和特征函数，nn22l4l(2n1)22Tn(t)0 T(t)aT(t)0变为Tn(t)a4l222(2n1)a(2n1)asintDnt，2l2l(2n1)a(2n1)a(2n1)cossintDnt)sinx 所以un(x,t)Xn(x)Tn(t)=(Cn2l2l2lcosTn(t)Cn所以uun(x,t))=(Cncosi1i12nn(2n1)a(2n1)a(2n1)atDnsint)sinx 2l2l2l由初始条件u(x,0)x2lx,u(x,0)0确定Cn、Dn。tu(x,0)Cnsinl(2n1)xx22lx 2l2(2n1)32l22 Cn(x2lx)sinxdx33l02l(2n1)u(x,0)(2n1)a(2n1)Dnsinx0，Dn=0 t2l2luun(x,t))=i1n32l231(2n1)a(2n1)costsinx 32l2li1(2n1)n附录1：二阶常系数微分方程：ypyqy0 特征方程：rprq0 根的三种情况

2r1r2r1r2rri

得到常系数微分方程的通解： yC1er1xC2er2x

附录2：线性方程满足叠加原理。

线性齐次方程（只含未知量的一次项，无零次项）通解为所有线性无关特解的叠加；而线性非齐次方程通解为其特解与相应齐次方程（去掉零次项后的线性方程）通解的叠加。

rxrxyC1eC2xeyex(CcosxCsinx)12附录3：和差化积公式

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB