运用问题探究法优化基本初等函数的解题教学_基本初等函数解题方法

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问题探究法优化基本初等函数的解题教学

云南省马龙县第一中学 吕木松

一、反思教学行为，聚焦存在问题

我们首先浏览学生解答下面三道高考数学试题的情况： 【2016高考浙江理数】已知a>b>1.若logab+logba=【易错点睛】在解方程logablogba方程logablogba【答案】4 2

【正解】设logbat,则t1，因为t25，ab=ba，则a=，b=

.25时，要注意logba1，若没注意到logba1，25的根有两个，由于增根导致错误． 21t5t2ab2，2因此abbab2bbb2bb2b2,a4.【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数fx2xm1（m为实数）为偶函数，记af(log0.53),bflog25,cf2m，则a,b,c 的大小关系为（）（A）abc（B）acb（C）cab（D）cba

【易错点睛】学生在求a的值时容易出错，因为|log21|=log23，如果学生化成3|log211|=log2，那么a的值就是错误的。33【答案】C 【正解】【2014山东.理5】 已知实数x,y满足aA.x3x则下列关系式恒成立的是（）ay(0a1)，y3 B.sinxsiny C.ln(x21)ln(y21)D.11 22x1y1【易错点睛】学生很容易选择C项，因为ylnu在（0，+）上为增函数，由xy推出x21y21

【正解】由axay(0a1)知，xy,所以，x3y3，A正确.通过举反例可以说明其它选项均不正确.对于B，取x2,y,xy,此时33sinxsiny，sinxsiny不成立；

对于C，取x1,y2,xy,此时ln2ln5，ln(x21)ln(y21)不成立；

对于D，取x2,y11111,xy,此时，2不成立；故选A 252x1y1我通过对近三年的高考数学试题进行研究，发现学生解决基本初等函数问题时，在以下几类问题中容易出现错误，分别是指数运算、对数运算问题；函数中的识图问题；指数、对数、幂函数比较大小问题；函数值比较大小问题；函数的奇偶性、周期性问题；函数与方程及数形结合思想问题。为什么学生在解决基本初等函数问题时会出现这么多的错误呢？这个问题是不是要引起我一线教师的重视和反思呢？我个人认为学生在解决基本初等函数问题时会出现这么多的错误主要原因是在教师的教学方式和学生的学习方式上出问题，传统的中学数学教学模式非常重视数学学科经典内容的讲授，重视演绎推理的证明，但往往忽视了学生的数学学习习惯和情感体验。大多数学教学基本上以教师、课堂、书本、试题为中心采用单一传递灌输的教学模式，学生学得枯燥乏味，教师累得身心疲惫。问题探究教学模式正是以问题解决为中心，以任务驱动、问题探究作为学习活动的主线，仿照科学家探究未知知识领域的途径，通过发现问题、分析问题、创造性地解决问题等步骤去掌握知识、培养学生的创造能力和创新精神。它的出现，打破了传统课堂教学束缚学生手脚的一套做法，遵循现代教育以人为本的观念给学生发展以最大的空问，使学生成为真正意义上的学习主人。问题探究教学通过对课程内容进行重组，将凝结于教材中的科学活动过程展示，使知识由静返动、由表及里，把演绎体系背后存在的大量的丰富内容挖掘出来，以“问题”的形式揭开数学完善的面纱，充分暴露数学发现、数学创造的过程。让学生在进行数学的再创造活动中学到数学知识，提高数学能力，享受探究数学问题的乐趣。不过，值得庆幸的是，今天教育界对“问题解决”的重视，说明现代教育意识到了教育的发展必须从科学思维发展过程中汲取营养，需要按照科学思维的模式改进教学；按照科学家的认知心理的特征培养学生。

二、问题探究法教学的内涵与特点

问题探究法教学就是以学生为主体，以“问题”为载体，以科学探究为手段，以培养学生的思维能力和问题解决能力为重点，以提高学生素质、促进学生全面发展为目的的一种教学方式。问题探究教学是相对于传统教学模式中的“结果性教学”和“讲练式教学”而提出的，是目前以“研究性学习”为特征的数学课堂教学的具体操作模式。

问题探究法教学的内涵主要包括以下三个方面：（1）问题探究法教学是一种主体性教学，认为在教学过程中学生是主体，且这种主体地位只有通过学生能动的探究活动才能真正实现。

（2）问题探究法教学是一种发展性教学，它重视学习中的知识过程、思维过程，发现过程、探究过程的协调统一，强调学生通过自主探索来获得知识，提高思维能力，优化个性品质。

（3）问题探究法教学是一种问题解决教学，它强调问题解决在教学中的作用，因而强调教师要积极创设问题情境，启发引导学生自主去探究、学习，去发现真理获取真知，掌握思维方法提高探索思维能力。

“问题探究法”课堂教学模式具有以下三个突出特点：

1、问题为主线，以培养思维能力为核心。从模式的结构来看，问题贯穿教学的全过程，问题既是教学的起点和主线，也是教学的终点和延伸。问题的提出和解决不仅仅是为了增进知识，而且更主要的是为了引发更多的新问题，从而引发思维，激发创新。学生分析问题、解决问题的探究过程，既是对信息进行筛选综合、重组的过程，也是学生思维能力的发展过程。

2、师生角色的转换。教师不再是知识的传授者、讲解者、促进者。教师的作用体现在：一是精心设计问题的情景；触发学生的思维。二是巧妙地设置符合学生最近发展区的问题，使每个学生学有所思，探有所得。三是唤醒学生的潜能，排除思维障碍、启发学生思考，解决问题、提出问题。四是学法指导，组织讨论，控制教学活动的进程。五是总结评价，延伸问题。而学生由知识的被动建构者转变为信息加工的主体，变要我学习为我要学习，在内驱力的作用下变被动发展为主动发展，在获取知识的同时发展能力。

3、模式的开放性和交互性。模式包含问题的情境——学生自主探究——协作学习——交流反馈——应用巩固的纵向开放结构，为学生独立求解提供了有效的途径，有利于学生的自评、纠错和能力的发展。而探究过程中学生与学生的交流，教师与学生之间的交流，增强了学生的合作意识，拓展了知识获取的渠道。

三、问题探究法教学的结构流程与操作程序

问题探究法教学模式的教学活动以问题为中心，学生在教师指导下通过发现，提出，解决问题的办法并通过自己的活动找到答案。在具体的教学中由于内容、目的、要求和条件的不同，问题探究教学的形式、途径也有多种多样。但从探究教学的纵向展开过程来看，问题探究法教学从提出问题开始，到创造性地解决问题。一般程序为：

在该过程中，学生在教师的指导下，以问题解决为核心参与认知过程。数学问题探究法教学模式的结构流程及操作程序可用下图来表示：

(问题探究法教学模式操作流程)“问题探究法”教学模式的操作程序大致可以分为三个阶段。第一阶段：创设情境，激趣促思，提高学生学习的积极性。

在学习动机中，最有效的因素就是兴趣。要激发学生学习数学的兴趣，教师要精心设计，刨设问题情境。创设问题情境的方法主要有三种：①师生通过语言的描述。②利用多种教学媒体创造富有形象、直观的问题情境，直接刺激学生的感觉与知觉器官，激发学生的学习兴趣与求知欲望。③利用实物模型或数学模型。

第二阶段：探寻研讨，交流总结，培养学生学习的独立性。

在学生进入积极的思维状态后，教师应及时引导学生主动去寻找解决问题的有效方法。这时，要把学生作为一个主体，给他们提供足够的思维时间和思维空间，同时让他们在群体因素的影响下，通过积极讨论，在探究过程中对于数学知识进行建构。第三阶段：理解深化，引伸探究，培养学生学习的创造性。

学习是创造的基础，而创造是学习发展的高级阶段。创造性思维是思维活动的最高表现，而创造的起点是质疑，所以必须精心扶植学生发现问题、提出问题的闪光点，鼓励学生有根据地“标新立异”，让他们的思维发散于不同方向，从而对同一研究对象产生分解能力，于是形成所谓的“求异思维”。

四、“问题探究法”教学模式的教学策略

在高中数学课中实施“问题探究法”教学模式必须强调四个策略：

1、过程教学策略：数学学科行动纲领指出：“要重视学生在获取和运用知识过程中发展思维能力，数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程，后者对发展能力更为重要。”数学教学不应是结果的教学，而应是“过程”的教学。教师应在教学过程中注重以下几个方面的教学：①概念的形成过程；②结论的推导过程；③方法的思考和形成过程；④问题的发现过程；⑤规律被揭示的过程。

2、自主发展策略：在课堂教学中，强调发挥学生学习的主动性，充分体现学生的主体作用。使其真正成为学习的主人。教师则可以组织多种形式的讨论、交流或动手操作，把课堂上获取知识的主动权交还给学生，使学生尽可能多地参与到学习活动中来，大胆想象，积极思维，充分挖掘潜力，主动地学习、主动地发展其个性特长。

3、兴趣激励策略：在课堂教学中，强调教师把学生吸引到有兴趣的、快乐的学习活动中，激发他们因成功、进步而获得的乐趣，使他们对学习入迷，自动、自觉地钻研。在教学时，教师要随时注意学生的心理效应，善于发现学生的闪光点并加以肯定，使学生产生一种愉快的情感体验，最大限度地调动学生的积极性，增加他们克服困难的勇气，增添对学习的兴趣。

4、探究创新策略：在课堂教学中，培养探究创新能力应注重质疑能力和批判思维能力的培养。质疑是一种在认识过程中发现问题的思维活动。在学习中要善于发现问题，．敢于提出问题。教师则应在教学过程中指导学生大胆质疑，鼓励学生发表不同意见或独创性的见解。给学生足够的时间和空间，激发他们的创造性思维。

五、“问题探究法”教学模式的应用

在这里，主要介绍一下“问题探究法”在习题课中的应用。

首先做几点说明：

1．习题课的重点是习题的处理，其中选题是重要环节，是教师备课的重点。典型性指题型有代表性，思路方法具～般性，联系知识具广泛性；多样性是指类型多样，面孔新颖，思路灵活。难易统一，是指有的问题表面上易，形式上易，但实质上不易，对能力要求高，解答易出错；有的问题表面似难，但若抓住本质，实际不难。在题目的难易上，要使学生感到“高而可攀”，注意不选偏题怪题。单一题着眼于某一知识点或单一解题方法，综合题侧重点在知识的联系和方法的 创新，应根据教学需要合理选题。所谓质与量统一是指，首先保证题目的品质，题要精彩，以一当十，而不是单纯强调大容量。对选定的问题，要结合学生的年龄特征、媒体的使用等情况用灵活新颖的方式提出，引起学生的求解欲望，使学生在迫切要求下开始探究活动。

2．尝试解答是“问题一探究”教学模式的重要环节。这里的探究是指主体的探究活动。强调学生是学习的主体，立足让学生去探索、发现、创新。教师可根据情况就方向性问题给以引导，一般不对具体题目进行提示，把教师的“导”转化为学生的“思”，避免用教师的思维代替学生的思维。引导学生自己完成去伪存真，去粗取精的工作，找准问题的本质，设计或选择正确的解题方法。教师应该指导学生保持良好的心态，始终用高强度、高质量的思维进行探究活动，如果 思维出现明显的偏差，应坦然以对，并逐步学会及时调整思路，避免出现过分焦虑。解题的探究过程是个创造的过程，要善于运用联想、归纳、转化、数形结合、换元、配方等常用的数学思想方法，动手做、动眼察、动耳听、动笔写，逐步提高探究能力。

3．探究尝试一般是学生个体的一种行为，而归纳交流则发生在学生集体中，发生在个体与个体之间。在教师的指导下，学生主体可以进行一些局部的或全方位的交流活动。在交流中，学生互相借鉴探究过程的思路，共同分享探究活动的成果，互相传染彼此的智慧。一题多解，多解归一是手段不是目的，重点不在解法的数量上，而在开阔思路。教师要抓住这一环节，引导学生真正把问题弄懂弄透，掰开揉碎，使其成为切实有效的锻炼思维的手段。在交流过程中，还应引导 学生分析探究过程中失误的原因，找到避免这种失误的方法，做到：既然“吃了一堑”，就要“长上一智”。归纳交流还应规范和优化解题思路和步骤。

4．交式训练的目的是防止学生机械模仿，应使练习的思维过程具有合理的梯度，逐步增加创造性因素。运用引伸、变化条件、改变结论、背景复杂化、配置实际应用环境等方法设置变式训练题目或题组，多角度运用知识，多途径对技能方法进行练习。需要注意的是，变式训练的题目，也同样需要学生的探究活动，因此，模式结构中的探究尝试、归纳交流、变式训练三大步骤组成了一个闭合回路，应根据教学条件灵活运用模式而不惟模式。

5．习题课的小结，重在使知识纳入系统，使方法得到提炼，使解题思路得以开阔。小结既可由对本节习题课重点内容进行回顾、概括，亦可由教师对学生的奇思妙解进行鼓励，对疏漏进行回授补偿，还可在短短的结语中设置悬念，为后续教学埋下伏笔。习题课中的问题探究法操作程序

六、习题课中实施“问题探究法”教学模式的教学案例

基本初等函数常见的题型有指数运算、对数运算问题；函数中的识图问题；指数、对数、幂函数比较大小问题；函数值比较大小问题；函数的奇偶性、周期性问题；函数与方程及数形结合思想问题，在这里就指数、对数、幂函数比较大小解题方法进行教学演示。

[课题]指数、对数、幂函数比较大小解题方法

[课型]高一数学习题课，[目的]通过本课时的教学，使学生系统的掌握指数、对数、幂函数比较大小的三种常用方法，同时着力培养学生的逻辑推理论证能力，提高学生分析问题，解决问题的能力，借以发展学生的探究能力。

[重点]培养学生的逻辑推理论证能力，使学生能针对具体问题，进行具体的分析，灵活运用各种方法解决实数的大小问题。[重难点]综合法证明不等式。[方法]问题探究教学法。[过程]

一、揭示课题，提出问题

引言：同学们，前面我们已经学习了三种基本初等函数——指数函数、对数函数和幂函数。今天我们上一节习题课，来系统认识和掌握指数、对数、幂函数比较大小的方法，提高同学们解决两个实数比较大小的能力。

板书课题：指数、对数、幂函数比较大小解题方法 你能用什么方法来比较两个实数的大小呢? [评述]：开门见山，让学生明确学习目的，为新课指明方向。(板书)比较121333和的大小 55[评述]：提出问题让学生思考，创设问题情境，激发学生学习欲望和要求，唤起学生对旧知识的回忆。

二、尝试解答，归纳交流

1．题型1 单调性法比较两个实数的大小

如何比较两个实数的大小呢?我们首先我们想到的是函数的单调性，那么指数、对数、幂函数的单调性分别是什么呢?(板书)：指数、对数、幂函数

分别由学生阐述三种函数的单调性，并画出函数图象。教师评判并简单小结。

[评述]：通过教师启发，让学生逐步回忆所学知识，并应用它们来分析问题，解决问题，以形成较系统和完整的知识结构。例1.比较121333和的大小

55x12解：

1133y在R上为减函数且-23553 5132．变式问题，扩展思维

[评述]：变式教学是深化知识十分有效的手段。通过变式教学，可使学生所学 的知识得到巩固与提高，创新才能也得到了发展。变式训练1：比较log3275和log3的大小 222解：

7575ylog3x在（0，+）上为减函数且 log3log3

222222252和的大小 351212变式训练2：比较解：

1532上为增函数=，yx在0，35121235

12252，即535121212归纳交流：发动学生积极开展讨论，发表不同的观点。老师可适时加以点拨。通过巡视，与学生一起总结方法。

题型1 单调性法比较两个实数的大小：如果两数有相同的底数,则用指数函数或对数函数的单调性判定它们的大小;如果两数有相同的指数, 则用幂函数的单调性判定它们的大小。2.题型2 比较同指数而不同底数的两个幂及同真数而不同底数的两个对数的大小

同学们回想一下我们学习过的指、对数函数底数变化与图象分布规律

指数函数底数变化与图像分布规律

① yax ②ybx ③ycx ④ydx 则：0＜b＜a＜1＜d＜c

在y轴右侧时，bxaxdxcx即底大图高，底小图低；

在y轴左侧时，bxaxdxcx即底大图低，底小图高； 对数函数底数变化与图象分布规律 在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；

当0

[评述]：通过教师启发，让学生逐步回忆所学知识，并应用它们来分析问题，解决问题，以形成较系统和完整的知识结构。

例

比较0.11和0.12的大小

法一：指数函数在y轴右侧，底大图高，底小图低；故0.11

3.23.23.23.2

yx3.2在(0,+)上为增函数，故0.113.2

[评述]：用一题多法，引导学生从不同侧面揭示问题的本质，排除定势的消极因素，使学生的思维达到变通灵活的目的。2．变式问题，扩展思维

[评述]：变式教学是深化知识十分有效的手段。通过变式教学，可使学生所学 的知识得到巩固与提高，创新才能也得到了发展。比较log1.22.3和log1.12.3的大小

解：

法一：对数函数当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；

故log1.22.3

法二：log1.22.31log2.31.2,log1.12.31log2.31.1

ylog2.3x在(0,+)上是增函数log2.31.2log2.31.1

y111在(0,+)上是减函数log1.22.3

维达到变通灵活的目的。

归纳交流：发动学生积极开展讨论，发表不同的观点。老师可适时加以点拨。通过巡视，与学生一起总结方法。题型2（1）对于同指数而不同底数的两个幂大小比较的方法：

①根据指数函数底数变化与图象分布规律较两个幂的大小；

在y轴右侧时，底大图高，底小图低；来比

在y轴左侧时，底大图低，底小图高；②利用幂函数的单调性即当0时，yx(R)在[0,)上是增函数；当0时，yx(R)在(0,)上是减函数来比较两个幂的大小。

（2）对于同真数而不同底数的两个对数大小比较的方法：

①根据对数函数底数变化与图象分布规律当a1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；来比较两个对数的大小； 当0a1时，对数函数的图象随a的增大而远离x 轴.②先利用换底公式把它们化成同底数的对数，然后再利用函数ylogax和y1的单调性x进行比较。

3.题型3 底数和指数都不同的两个幂及底数和真数都不同的两个对数大小比较 如何比较底数和指数都不同的两个幂的大小呢?不等式有一个传递性即若ab,bc则ac，若ab,bc则ac。要比较a和c的大小，只要找到一个中间值b即可。

[评述]：通过教师启发，让学生逐步回忆所学知识，并应用它们来分析问题，解决问题，以形成较系统和完整的知识结构。

例1.比较0.20.5和0.40.3的大小

0.3解：法一：选0.2 作为中间值

y0.2x在R上是减函数0.20.5

yx0.3在(0,+)上是增函数函数0.20.3

0.5法二：选0.4 作为中间值

y0.4x在R上是减函数0.40.5

yx0.5在(0,+)上是增函数函数0.20.5

[评述]：用一题多法，引导学生从不同侧面揭示问题的本质，排除定势的消极因素，使学生的思维达到变通灵活的目的。

变式问题，扩展思维[评述]：变式教学是深化知识十分有效的手段。通过变式教学，可使学生所学 的知识得到巩固与提高，创新才能也得到了发展。变式训练1：比较log1.12.3和log1.22.2的大小 解：法一：选log1.22.3作为中间值

ylog1.2x在(0,+)上是增函数log1.22.2

ylogax当a>1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近log1.22.3

故log1.12.3>log1.22.2 法二：选log1.12.2作为中间值

ylog1.1x在(0,+)上是增函数log1.12.2

ylogax 当a>1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴log1.22.2

故log1.12.3>log1.22.2

[评述]：用一题多法，引导学生从不同侧面揭示问题的本质，排除定势的消极因素，使学生的思维达到变通灵活的目的。变式训练2：比较12121353和的大小

3500解： 553=1，1=335353 535131213归纳交流：发动学生积极开展讨论，发表不同的观点。老师可适时加以点拨。通过巡视，与学生一起总结方法。

题型3 媒介法：当比较底数和指数都不同的两个幂及底数和真数都不同的两个对数的大小时，通过选取与这两个数都有关系的数作为中间媒介，再利用指数、对数、幂函数的单调性和对数函数底数变化与图象分布规律来达到判定这两个数大小的一种方法。

课堂小结：下面我们一起对这一节课所学知识进行归纳总结一下，指数、对数、幂函数比较大小的解题方法主要包括三种：（1）单调性法：如果两数有相同的底数,则用指数函数或对数函数的单调性判定它们的大小;如果两数有相同的指数, 则用幂函数的单调性判定它们的大小。（2）对于同指数而不同底数的两个幂大小比较的方法： ①根据指数函数底数变化与图象分布规律较两个幂的大小；

②利用幂函数的单调性即当0时，yx(R)在[0,)上是增函数；当0时，在y轴右侧时，底大图高，底小图低；来比

在y轴左侧时，底大图低，底小图高；yx(R)在(0,)上是减函数来比较两个幂的大小。

对于同真数而不同底数的两个对数大小比较的方法：①根据对数函数底数变化与图象分布规律当a1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；来比较两个对数的大小； 当0a1时，对数函数的图象随a的增大而远离x 轴.②先利用换底公式把它们化成同底数的对数，然后再利用函数ylogax和y1的单调性x进行比较。

（3）媒介法：当比较底数和指数都不同的两个幂及底数和真数都不同的两个对数的大小时，通过选取与这两个数都有关系的数作为中间媒介，再利用指数、对数、幂函数的单调性和对数函数底数变化与图象分布规律来达到判定这两个数大小的一种方法。

[评述]：通过知识反馈，优化学生的认知结构，条理问题解决的思维模式。帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握指数、对数、幂函数比较大小的常用方法。,.

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