小船过河专题精解_小船过河专题

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小船过河知识点精解

1．运动的合成一个物体的运动可以看作是由两个运动组成的。例如轮船渡河的运动可以看作是由两个运动组成的。假如河水不流动，轮船在静水中沿AB方向行驶，经过一段时间轮船将从A点运动到B点(图1-15)，假如轮船没有开动，河水把轮船冲向下游，经过相同一段时间，轮船将从A点运动到A＇点。现在轮船在流动的河水中行驶，它同时参与上述两个运动，经过这段时间将从A点运动到B＇点。轮船从A点到B＇点的运动，就是上述两个分运动的合运动。

已知分运动的情况，可以知道合运动的情况。已知分运动在某时刻的位移，速度和加速度，应用平行四边形定则就可以求出合运动在那一时刻的位移，速度和加速度。已知分运动求合运动，叫做运动的合成。

2．位移的合成分运动的位移与合运动的位移的关系满足平行四边形法则或三角形法则。3．速度的分成分运动的速度与合运动的速度的关系满足平行四边形法则或三角形法则。【说明】

运动之所以可以合成或分解是基于如下两个特性：

(1)各个分运动的独立性。当物体同时参与两个或两上以上的运动时，任何一个方向上的运动都不会因为其他方向上的运动是否存在而受到影响，或者说，一个复杂的运动可以看成是由几个各自独立进行的运动的迭加而成的，这个结论称为运动的独立性原理。例如，一个物体的平抛运动，是水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的自由落体运动的合运动，而竖直方向上的自由落体运动并不因水平方向上的匀速直线运动的存在而改变其运动规律，另一个方面，水平方向上的运动也不会受竖直方向上运动的影响。

(2)分运动与合运动的等时性。合运动与分运动的位移、速度、加速度之间的矢量关系是指在同一时刻它们之间应满足的关系。

如图1-16所示，作平抛运动的物体，由A点运动到B点时，合运动 的位移，该时刻在水平方向和竖直方向上的位移分别为，在该时刻三者间的关系满足平行四边形法则。

设物体经时间t运动到B点时，则在该时刻：

水平方向上的位移sx=x=v0t；

水平方向上的加速度ax=0； 竖直方向上的加速度ay=g； 合运动的加速度a=g方向竖直向下。

小船过河专题

小船过河问题的分析及处理方法:（假设小船和河水都是做匀速直线运动）

１如果小船静止放在水里，小船会随着河水漂移，小船的速度和河水的流速相同； ２ 如果河水静止，小船将会以原速度驶向对岸。3 如果小船在流动的河水中驶向对面的岸边，小船既要沿着河水运动,又要向着对面岸边的方向行驶，所以小船的实际运动状态是１和２中两个运动的合运动。A.最短时间过河问题处理方法：

小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶，小船过河所用时间才最短。

B.最小位移问题处理方法：

因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的方向时，小船的位移最小。

【例1】

甲、乙两个游泳运动员，甲在东西方向的河流南岸，乙在北岸，彼此相距s。甲、乙两处连线方向与河岸方向成α角，如图1-17所示。已知甲在静水中的最大游泳速度为v1，乙在静水中最大速度为v2，甲乙两人同时开始运动。

(1)求它们从出发到相遇需要的最短时间；

(2)问他们的运动方向如何？设水的流速保持不变。【解法Ⅰ】

【分析思路】

如果水无流速，则他们为了在最短时间内相遇，一定沿着他们的连线以最大速度相对运动。但水有一定流速，所以就不能简单地认为他们还是相对地运动。为此设河水的流速为v，方向向东，要使两人相 遇，甲的游泳方向为北偏东β角度，乙的游泳方向为南偏西γ角度，如图1-18所示。

【解题方法】

运动的合成与分解及速度公式。

【解题】

设从出发到相遇经过时间t。为解题方便把v1和v2分别分解为沿河岸方向和垂直河岸方向的两个分速度。则在时间t内，甲乙两人在垂直河岸的方向上各自运动的距离为：

s1=v1cosβ·t，s2=v2cosγ·t，且

s1+s2=s sinα 所以

(v1cosβ+v2cosγ)t=s sinα

(1)同时，在时间t内，甲乙两人在沿河岸方向上各自运动的距离为

s1＇=(v1sinβ+v)t，s2＇=(v2sinγ-v)t 且

s1＇+s2＇=S cosα

所以

(v1sinβ+v2sinγ)t=s cosα

(2)分别把(1)式和(2)式平方后再相加，得

可见当β=γ时，t有最小值为

把β=γ分别代入(1)式和(2)式，得

(v1+v2)tcosβ=s sinα(v1+v2)tsinβ=s cosα

把这两式相比得

ctgβ=tgα

所以

β=γ=90°-α

说明这两个运动员应该始终向着对方游，但要注意，因为流水的影响，他们的实际游泳路线并不与两个出发点之间的连线重合。

【解法Ⅱ】 【分析思路】

因水流在相同的时间内把甲乙两人向下游漂移同样的距离vt(其中v为水的流速，t为甲乙划游时间)。所以可先除去水的流速影响。为此，只要认为甲乙两人各自从原来出发点下游vt的地方同时开始游，如图1-19所示。这样就把有水速的问题归结为在静水中的问题了。

【解题】

要在最短时间tmin相遇，甲乙两人必须沿着两个新出发点的连线相对地游。因此最短时间tmin为

运动方向各自朝着对方

【解法Ⅲ】

用相对速度解。采用速度的矢量记号。甲相对于河岸的速度为v1+v，乙相对河岸的速度为v2+v，所以甲相对于乙的速度v12为：

v12=(v1+v)-(v2+v)=v1-v2 作矢量图如图1-20所示，由图可见，当β=γ时，即甲乙都朝着与河岸成α角的方向游时，v12为最大，且等于v1+v2。因此需要的最短时间tmin为：

由于β=γ，所以甲乙的游泳方向将始终朝着对方。

【例2】

将物体从山坡上沿水平方向抛出，1s后速度与水平方向成30°角，落地时的速度与水平方向成60°角，求物体落地点和抛出点间的距离。

【分析思路】

由第一个条件用速度分解法求出初速度，再由第二个条件用速度分解、运动合成与分解的方法求出合位移。

度与位移的合成法则。

【解题】

建立坐标系如图1-21所示。物体在1s末y方向的分速度为：

v1y=gt1=10×1=10(m／s)由1s末速度的分解得x方向的分速度，即为平抛物体的初速度

由落地时速度的分解得y方向的分速度为

落地时间

x方向的位移

y方向的位移

小结：把合运动分解为简单的分运动来处理，然后再合成。这是解决有关平抛问题的一般方法。