2.1.1 椭圆标准方程教学案(3)(教师版)_椭圆及标准方程导学案

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高二数学选修1-1学案

2.1.1

椭圆及其标准方程（3）

学习目标：

（1）理解并熟练应用椭圆的定义；

（2）使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系；

（3）掌握轨迹问题的一般求法：定义法、直接法、相关点法.学习重点：利用椭圆的定义求与椭圆相关的轨迹问题.学习难点：轨迹问题的一般解法.学习过程：

一、课前准备：

阅读教材P34~P36的内容，找出疑惑之处，并思考以下问题：

2yx1；距离之和等于6的1.到定点(3,0)和(3,0)距离之和等于8的点的轨迹是1672点的轨迹是y0(3x3).2yx11上的每一个点的纵坐标都缩短为原来的，横坐标都缩短为原来的2.把椭圆1625521，则所得的曲线的方程是x2y21.4二、新课导学：

【例1】已知点A(2,0)，B(2,0)，直线l1过点A，直线l2过点B，若l1、l2的斜 率之积为3，求l1、l2的交点P的轨迹方程.4【解析】设P点坐标为(x,y)，依题意，得l1、l2的斜率分别为 k1yyyy3，k2，（x2），于是x2x2x24x222yx1（x2）.化简得43【例2】已知两圆A：(x1)y1，B：(x1)y25，动圆M与圆A外切，与圆B内切，2222yQMPBA求动圆M的圆心M的轨迹方程.【解析】设动圆M的半径为R，连AM，则

|AM|R1，①

x

设动圆M与圆B相切与点Q，连BQ，则BQ经过M，|BM|5R

② ①②得 |AM||BM|6，由椭圆的定义知，动点M的轨迹是椭圆，焦点是A、B，定长为6，yx设椭圆方程为221，ab则a3，c1，所以b28，2yx1.所以动圆M的圆心M的轨迹方程98222yQPBoA动动手：已知圆A：(x3)2y264，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.【解析】设动圆P的半径为R，圆P与圆A相切与点Q，连AQ，则|AQ|8，|AP|8R

① 又 |BP|R

②

①②得 |AP||BP|8，x由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆，焦点是A、B，定长为8，yx设椭圆方程为221，ab则a4，c3，所以b27，2yx1.所以动圆P的圆心P的轨迹方程1672yx1上移动，求线段OP的中点M的轨迹方程.【例3】动点P在椭圆1682222【解析】设M(x,y)，则P(2x,2y)，因为P在椭圆上，所以

2(2x)(2y)yx1，即1为所求的轨迹方程.16842222动动手：已知x轴上的一定点A(1,2)，M为椭圆迹方程.【解析】设P(x,y)，M(x,y)，则有

2xx1x2x1 ，所以，2yy2y2y2x24y21上的动点，求AM中点P的轨因为M为椭圆P的轨迹方程.x24y2(2x1)2(2y2)1即为所求的动点1上的动点，所以

42三、总结提升：

例1是直接法求轨迹方程，使用这种方法时，要把动点坐标设为(x,y)，然后利用题设条件列出关于x、y的关系式，化简解得轨迹方程.例2是利用椭圆的定义求轨迹方程，注意平面几何知识的应用，寻找符合椭圆定义的条件，得出轨迹方程.例3是相关点法求轨迹方程，特点是将动点的坐标(x,y)转移到其它点上，在利用其它 点的条件，得出动点的轨迹方程.这三种方法是求轨迹方程的常用方法，要认真体会这些方法的运用.四、反馈练习：

1.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（D）A.yx B.yx C.yx D.yx 2.到两点A(1,1)、B(3,1)距离相等的点的轨迹方程是（B）A.y10 B.y1 C.x1 D.x10

2yx1运动，则点B3.坐标系中O、A、B三点共线，|OA|2|AB|，点A在椭圆322yx1.的轨迹方程是271822*4.ABC的三条边a、b、c成等差数列，且满足abc，A(1,0)，C(1,0)，求顶点2yx1B的轨迹方程 432(2x0.)

yB5.已知点A(2,0)，点B是圆F：(x2)2y236上的动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程.【解析】因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA||PB|，又|BF||PF||PB|6，PAoFx所以|PF||PA|6，根据椭圆的定义，点P的轨迹是椭圆，焦点是A、F，2a6，所以a3，c2，求得b25，2yx1.所以点P的轨迹方程为952

五、学后反思：