椭圆及其标准方程(905)_椭圆及其标准方程免费

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椭圆及其标准方程

★教学目标

1、知识目标：掌握椭圆的定义、椭圆的标准方程及其推导，进一步熟悉求曲线方程的方法。

2、能力目标：通过椭圆的定义和椭圆方程的推导，培养学生实际动手、合作学习能力，抽象概括能力和逻辑思维能力。

3、情感目标：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际的辩证唯物主义思想。

★教学重点难点

教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。

教学难点：椭圆标准方程的推导。★教学方法：探究式与讲授式 ★教学过程：

一、新课引入

同学们，我们来共同欣赏一段动画：[神舟六号] 2005年10月12日至17日，神舟六号载人航天飞行圆满成功，实现了几代航天人飞天的梦想，中华儿女为此感到无比的骄傲和自豪。

同学们，你知道神舟六号运行的轨道是什么吗？

它有什么特性呢？在直角坐标系中方程如何求？

这些就是我们这节课要研究的内容——椭圆及其标准方程（板书课题）。［用神舟六号的精彩动画激起同学们的学习兴趣，从而导入本节课的主题］

二、讲授新课

（一）实践操作

大家知道“平面内到一个定点的距离等于常数的点的轨迹是圆”，那么，平面内到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹又是什么？ 我们先做一个实验： ［实践操作］

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在作业本上的F1和F2两点，当绳长大于 F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在作业上慢慢移动，就可以画出一条曲线。

铅笔尖形成的曲线是什么？--------是椭圆。

我们再用多媒体演示一下画椭圆的过程，请同学们仔细观察：在动点运动的过程中，什么是不变的？ [演示动画] 演示结束后，请同学回答上面提出的问题： 同学回答：第一，两个定点不变，第二，动点与两定点距离的和不变，始终等于绳长。

同学们能不能给椭圆下一个定义？[让学生思考1分钟] 同学的回答是：“与两定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹”。这位同学回答的对吗？

在刚才的实验中，有绳长大于两定点F1和F2的距离这一条件，当绳长等于两定点F1和F2的距离时，满足条件的动点轨迹是什么？ ［动画演示］

动点的轨迹是这两个定点F1和F2所确定的线段。

当绳长小于两定点F1和F2 距离时，动点的轨迹又是什么？ 很明显满足条件的点不存在。

请同学们重新给椭圆下一个定义，然后与课本对照，看哪一个更准确？

（二）椭圆的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。其中两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

强调：

1、平面内——这是大前提

2、动点M到两个定点F1、F2的距离的和等于常数

3、常数要大于焦距

以上是椭圆的定义及有关概念，下面来求一下椭圆的方程。

（三）椭圆的标准方程

1、椭圆标准方程的推导。如何求曲线的方程呢？

一般求曲线方程的方法与步骤如下：[幻灯片] 建系设点——写出点集——列出方程——化简方程——检验 下面我们按照这五个基本步骤来推导椭圆的方程：（1）建系设点

建立坐标系是求曲线方程重要而关键的一步，一般应符合简单和谐化原则，注意充分利用图形的对称性。请学生讨论建系的方案。（稍停）

以两定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设，F2（c，0）。F1F22c(c0)，M（x，y）为椭圆上任意一点，则有F1（-c，0）又设M到F1、F2距离的和等于2a。

（2）写出点集

由定义不难得出椭圆集合为：

PMMF1MF22a（3）代数方程

MF1xc2y2,MF2xc2y2,2a 得方程xc2y2xc2y2［到此为止完成了由形到数的转换］

这一方程直接反映了椭圆的本质属性，但需要尽量化简方程形式，使数量关系更加清晰。

（4）化简方程

[教师指导，学生自己完成] 如何化简呢？请同学们讨论一下。

化简此式的关键是去掉根号，而去根号就要两边平方，是直接平方呢？还是移项后再平方呢？（1）原方程要移项后平方，否则化简相当复杂：

xc2y22axc2y2

xc2y2 平方后整理，得a2cxa再平方化简得，(a2c2)x2a2y2a2a2c2

（2）为使方程简单、对称、和谐，引入b，由a2c20令a2c2b2，其中b＞0则

b2x2a2y2a2b2

两边同除以a2b2得，x2y21（a＞b＞0）a2b2（5）证明，因教材不要求，可从略

这一简化的方程称为椭圆的标准方程。它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-c,0）、F2（c,0）.这里c2=a2-b2.注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同方程。

若椭圆的焦点在y轴上，a、b的意义同上时，椭圆方程如下：

y2x221(ab0)2ab这也是椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标是F1（0,－c）、F2(0,c)，（课下由学生自己推导）

2、两种标准方程的比较（引导学生归纳）

x2y2y2x221（ab0）221（ab0）2abab思考一：椭圆的标准方程中三个参数a、b、c的关系如何？

ab0,a2b2c2。

思考二：如何由椭圆的标准方程判定焦点的位置？

x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。

三、例题讲解

例1 判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。

x2y2x2y21（2）

1（1）3442

答案：（1）y轴（0,1）（0，-1）（2）x轴（2，0）（-2, 0）

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 已知两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。

x2y21 答案是：259点评：求标准方程时，先确定焦点的位置，设出标准方程（若不能确定焦点的位置，应分类讨论），再用待定系数法确定a、b的值。

四、随堂练习：

x2y21上一点P到焦点F1的距离等于6，1、如果椭圆则点P到另一个焦点10036F2的距离是。

2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=1,焦点在x轴上；

（2）a=4,c=15.五、尝试回忆

1）椭圆的定义：MF1MF22a2c。2）椭圆的标准方程

x2y2当焦点在X轴上时221(ab0)

aby2x2当焦点在Y轴上时221(ab0)

ab这里c2a2b2

3）求椭圆标准方程的方法：待定系数法

六、布置作业

1、推导焦点在Y轴上的椭圆的标准方程

2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程

（1）焦点在X轴上，焦距为4，并且经过点P(3,26)

（2）a+c=10

a-c=4

七、思考题：

1.椭圆标准方程与圆心在原点的圆的标准方程有何联系？结合图形谈谈你的看法.2.在椭圆标准方程推导过程中，经过两次平方后才能将根号消去，这一过程是否有其他途径可实现？