问题驱动法在数学新教材的应用_数学归纳法及其应用
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问题驱动法在数学新教材实验中的运用
黄浦学校顾涵明
《上海市中小学数学课程标准》的课程理念中提出要充分关注学习过程，引导学生探索求知的。数学课程要遵循学生认知心理发展的规律，合理组织教学内容；要展现知识的发生、发展、形成和应用的过程，加强数学学习的活动，提供学生亲身感受、体验的机会。二期课改试点教材特别重视从问题出发，培养学生提出问题、解决问题的能力，教材为我们提供了丰富的资源，因此在新教材实践中我尝试和探索“问题驱动法”，精心设计各种数学问题，调动全体学生积极参与，激发学生的学习兴趣，使学生自觉、主动的学习，从而培养学生的问题意识和创新意识以及实践能力。
一、问题驱动教学法的界定及其理论依据
问题驱动是指用问题驱动学生学习，驱动学生深入的思考，理解数学的本质。其关键是设计有效的驱动问题，即在特定内容学习之前能够刺激学生产生学习心向、引起学习欲望或学习进行中能够引起学生深入思考的提问或问题。
以问题为教学的特定载体，以问题解决促进学生能力的提高，早已为许多教育理论家所关注，许多专家从不同的角度论述了与问题驱动教学相关的问题： 建构主义学习理论认为，学习过程不是学习者被动地接受知识，而是积极主动地建构知识的过程．弗赖登塔尔说：“数学是系统化了的常识．”从本质上讲，数学是关于客观世界模式和秩序的科学，数、形、关系、可能性、数据处理等，是源于人们对现实世界的数学把握，并反过来不断地接受客观事实的检验和矫正中发展起来的。而数学过程则是在人们对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象、概括，形成模型、理论和方法的过程，这一过程是一个充满探索性和创造性的建构过程。著名心理学家布鲁纳指出：“探索是数学教学的生命线。”此外，皮亚杰，科尔伯格，斯腾伯格和卡茨等人都提出个体的主动性在建构认知结构过程中的关键作用，并对认知过程中如何发挥个体的主动性作了认真的探索。这些研究都为实际应用问题驱动教学法提供了教育学和心理学理论依据。
二、问题驱动教学法中问题提出的形式在教学实践中的运用
我们知道数学活动往往是从问题开始的，没有问题就没有数学活动。但问题的提出即要考虑学生的认知基础，又要给学生思考的余地，使学生产生很想弄懂但又无法弄懂，很想说清但又无法说清的心理状态。在实践和探索的过程中我主要采用以下三种问题形式提出问题：
1、从生活实践中提出问题
信手翻开上教版新教材，可以看到很多题材都来源于学生熟悉的生活。如六年级第一学期在分数与小数的互化从比较行星的大小入手。在比的意义中从投篮比赛入手。六年级第二学期中，不等式及其性质从观察交通标志引入，二元一次方程及其解法从鸡兔同笼问题引出。这样的题材选择体现了新课程提出的“有意义的数学应该是现实的”这一理念，同时也启示我们：有效的数学学习活动应该建立在学生已有的生活经验上，我们的教学必须基于学生的生活经验进行。六年
1级小学生的学习热情和积极性，很大程度上取决于他们对呈现材料的兴趣，选取他们身边熟悉的例子现身说法，不仅能极大地调动学生的学习积极性，更能使知识得到较持久的保持，以便深入理解，为进一步建构知识奠定较好的基础。例如：例如在新教材六年级《圆锥的体积》一课我不是简单的让学生根据课本的安排较快的进入操作探索阶段，而是设计了这样一个问题引入课题：圣诞节晚会上顾老师扮成圣诞老人给各小队发糖果，小雯和小林情急之下拿起自己的帽子翻过来做容器为小队领礼物，他们的帽檐等大，可小雯的圣诞帽的高度是小林的3倍，那么他们为小队领的糖果有差异吗？为什么？（假设糖果与糖果之间没有间隙），让学生体会到这一问题有研究的价值。然后在实验验证前设计了以下三个问题：
（1）我们学过那些体积公式？我们是怎样获得这些体积公式的？你认为圆锥的体积与我们学过的哪一个几何体的体积有关系？（2）如果现在已知圆锥的底面半径是2厘米，高是3厘米，你会选择哪一个圆柱来验证你的猜想？（教师提供一些圆柱体让学生选择）（3）请通过实验来验证你的猜想。
在《勾股定理的逆定理》一课我根据课本的安排设计了这样的引例：古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。其直角在第4个结处。他们真的能够得到直角三角形吗？然后学生提出命题，并对命题加以证明。由于问题来源于生活实际更容易让学生产生共鸣，使学生体验到数学来源于生活并应用到生活的。
学生在在教师的精心设计下发现问题、分析问题并解决问题，通过问题的解决培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力。
2、在学生的探索中提出问题
数学知识往往是在原有知识的基础上发展而来的，问题完全可以让学生在探索的过程中提出。例如在《分数与小数的互化》的一课中学生在归纳把分数化成小数的方法后，我适时的提出能够化成有限小数的分数的分母有什么特点吗？由此启发学生猜想。由于问题是在学生探索的的过程中提出，激发了学生强烈的探究欲望。学生提出如果分母中只含有质因数2和5，再无其他质因数，那么这个分数可以化成有限小数，否则就不能化成有限小数。我不是把正确的结果直接告诉学生，而是以小组为单位自编题目进行验证，学生自编的题目都似乎验证了猜6
想的正确性，此时我再提出15是否能化成有限小数呢？学生的情绪再次达到了高潮，最终同学归纳出：一个最简分数，如果分母中只含有质因数2和
5，再无
其他质因数，那么这个分数可以化成有限小数，否则就不能化成有限小数。在《直角三角形的性质》的一课中学生在发现含有45o的直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分割为两个全等的等腰直角三角形，而且斜边上的中线长是斜边长的一半，由此引导学生思考“直角三角的中线长一定斜边长的一半吗？直角三角形斜边上的中线把直角三角形分割成两个直角三角形吗？分割而得的三角形有什么特点呢？”带着猜想和疑问学生开始运用证明命题的一般步骤开始证明猜想的正确性。在学生愤悱之时，教师适时的抛出问题，学生在解决问题的同时产生认同感和自豪感。在探索中提出的问题不仅仅让学生学习了知识，更重要的是学生在经历了的解决问题的的一般过程即“猜想—验证—归纳”的过程。
3、问题从已知数学中提出问题
教师不仅要注重从生活实践中提出问题，更要培养学生理性思考问题的能力例如在六年级《分数与小数的互化》的一课中，我不是直接提问“怎样把分数化成小数”，而是设计了以下三个问题：（1）分数与除法有什么关系？（2）你能把3316717、、、、（2）把分数化成小数，其结果425202230下列分数化成小数吗？
有几种情况？（3）能化成有限小数的分数有什么特点吗？在原有分数与除法的关系的基础上同学们顺利的解决了问题，第三问更为下一环节能化成有限小数的分数特征的探索提供了研究的方向。随着学生年龄的增长，问题更多的从已知数学中提出。在《二次根式的乘法和除法》的一课中，我不是直接提问由教材中设计的思考“把代数式2a
3b和6ab中分数线下的式子看作分母，前一个分母是根3b
式，后一个分母是整式，这两个分母之间有什么关系？怎样把分母中的3b化为3b？”入手，而是设计了这样一组练习：
解下列方程：
(1)2x
2(2)2x2
(3)x2
学生在解方程的过程中自然会遇到如何解决无理数除以无理数呢？怎样使结果的分母不含有无理数呢？是否能运用分数的基本性质来解决问题呢？例如在《直角三角形全等的判定》一课中我从学生原有的知识储备出发设计这样一系列问题：首先“问题重现“：已知:如图,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是点C、D，且PC=PD求证：点P在∠AOB的平分线上。（此问题在角平分线的逆定理学习过程中已经解决）
D
P
O C A
然后是进入“问题探索”阶段：（1）联结OP是否能证明△OCP ≌△ODP呢？
（2）在两个直角三角形中，“边、边、角”对应相等的情况有几种？（3）你能把我们想要解决的问题用命题的形式来表述吗？（4）证明命题“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。”是真命题。环环相扣的问题让学生养成有条理分析问题和“言必有据”的习惯，而且可以进一步体会数学的价值，体验求是、求真、求实的科学精神。
三、问题驱动法实践后的思考
1、在问题的驱动过程中需处理好独立思考与合作学习的关系
在两年多的实践中我发现在问题驱动教学过程中独立思考与合作探索都是合适的。在问题驱动的的实践中从合作学习的组织形式为主逐渐过渡到以独立思考为主。合作探索的优点是当遇到挑战性的问题，学生个人自主尝试解决有困难，就会去寻求合作，一起去尝试讨论、质疑、找出解决问题的方法。这样的教学能很好的培养学生的协作精神和创新精神，以及实践能力。新课程强调合作学习不是不要独立思考，独立思考应是合作学习的前提，合作学习应是独立思考的补充和延伸。多数学生能通过独立思考解决的问题，就没必要组织合作学习。采用独立思考还是合作探索形式，教师应与教学情景、学生实际结合，择善而用，才能日臻完美。只有在学生充分的独立思考的基础上，再加强学生之间的交流，才能使他们互相取长补短，实现真正意义上的合作。教师应当把握好每一节课讨论的契机，在学生愤悱之时引导他们合作，让他们在交流、争论中获得灵感、获得启迪。在学生需要帮助时引导合作，使学生又迅速又准确地完成一个人难以完成的任务，让他们体会到集体合作的力量；在每节课的重要环节，学生对知识有了感性的认识、小有收获时引导他们合作，在合作讨论中让他们感悟到他人的思维模式与方法，不断地吸取，不断地反思，最终为我所用。
2、问题驱动法有利于进行数学思想方法渗透
从现在的新教材看，整个教材都注重数学思想方法的渗透，在边款处或在每一章的小结中都会归纳和整理本节或本章所蕴涵的数学思想。我们知道知识点是数学的外显形式，学生易于发现，而数学思想方法则是数学的内在形式，是学生获取知识，发展数学能力的动力工具。而数学思想方法是贯穿于数学学习的始终的，学生对每一种数学思想方法的领会和掌握都要经过较长时间、不同内容的的学习才能真正达到。而问题驱动的过程正是学生体验数学思想方法的过程，在体验过程中体会数学思想方法的价值所在——能有效的解决问题。让学生在问题解决的过程中，经历细致的观察，主动的探索，及时的归纳，不断的反思等一系列的探究过程中，体现数学学习是“经验，活动，思考和再创造”的特点，体验数学方法和数学思想的魅力。
3、问题驱动法有利于对学生进行发展性评价
《数学课程标准》中提到情感和态度包括：能积极参与数学活动，对数学有好奇心与求知欲；在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。在问题驱动教学的过程中教师为学生创设一个民主、和谐、宽松、自由的学习氛围，尊重和保护学生的参与热情，采用多种形式鼓励学生尤其是学困生积极地参与活动。同时，教师也平等地参与
到问题探究的过程中去，并对各小组的学习情况及时地进行鼓励、引导和帮助，同学们觉得通过自己的努力就能解决问题，不仅提高了学习的积极性，提高了课堂效率，起到了“事半功倍”的效果。教师竭尽全力地肯定学生的一切努力，激发和保护学生的好奇心和创造欲，站在学生发展的角度来评价学生，激励学生的进步，最大限度地发挥学习评价的作用。
总之，新的课程教学改革，需要与之相适应的新的教学方法，应该认识到各环节都可以进行提出问题、分析问题、解决问题，又会不断产生新的问题，关键是让学生在动态的、生成的、有效的问题中去不断寻求解决问题的方法和策略。驱动学生积极主动地去参与学习的全过程，学会终身学习的一种本领，得到提出问题、分析问题、解决问题的一种能力，从而促进学生的全面发展，发展和挖掘学生的各种潜力，激发学生思考，在一生中受用。
