线性代数试题及答案_线性代数考试题及答案

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线性代数习题和答案

第一部分

选择题

(共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12a13a22a23=m，=n，则行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n 1002.设矩阵A=020，则A-1等于（）

0031

3A.00012000

1

B.10001200013

1003

C.010

1002

12D.000010 3013123.设矩阵A=101，A*是A214的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.BC时A=0 D.|A|0时B=C 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）

A.A =0

C.A0时B=C

A.1 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）

B.2/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全为

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λ

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（）

A.所有r-1阶子式都不为0

C.至少有一个r阶子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 B.秩(A)=n-1

D.方程组Ax=0只有零解

12128.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.设λ0是矩阵3是

A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属

0的线性无关的特征向量的个3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

A的特征方程的3重根，A的属于λ

B.k

D.k>3 数为k，则必有（）

A.k≤3

C.k=3 / 7

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）

A.|A|2必为1

C.A-1=AT

B.|A|必为1

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）

A.A与B相似

B.A与B不等价

C.A与B有相同的特征值

D.A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）

A.23343426

B. 100

C.023035111D.120102

第二部分

非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15.111356

.9253611111116.设A=，B=123.则

124A+2B=

.17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=

.19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为

.20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

./ 7

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=

.22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为

.23.设矩阵0106A=133，已知α21082=12是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为

.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为

.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

12025.设A=340121，B=1105231（2）|4A|..求（1）ABT；

24026.试计算行列式352112341313.42327.设矩阵A=110123，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.21301301.，α=28.给定向量组α1=，α，α23=4=22404193试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

12124229.设矩阵A=210333266.23340求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵022A=234432的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形/ 7

2f(x1,x2,x3)=x12x223x34x1x24x1x34x2x3，并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ基础解系.试证明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其导出组Ax=0的一个

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2线性无关。

337137

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1z22z3z4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

12022403425.解（1）AB=312110T

86=1810310（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=1203402.121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 352111051234131351105110511311300/ 7

=5111111 55051162620301040.55550=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1223=1101211143153.164所以

B=(A-2E)-114342353110 A=116412338696.=2212928.解一 2130053213011301

0224011234190131121000100005111200088014140002101, 0110003035112

011000所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二

考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 2x1x23x30x3x112 2x2x4323x14x2x39.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解

对矩阵A施行初等行变换

121000A03209602628232/ 7

212101210328303200000062000217000283=B.31000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.25/525/15经正交标准化，得η

1，η

25/5=5/15=4.05/3λ=-8的一个特征向量为

1/3ξ=13，经单位化得η2

3=2/3.22/325/5215/151/3所求正交矩阵为

T=.5/545/152/305/32/31对角矩阵

D=00010.00825/5215/151/3（也可取T=.）

05/32/35/545/152/331.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.y1x12x22x3x1y12设yy22x2x3，即x2y2y3xyy3x333因其系数矩阵C=12011可逆，故此线性变换满秩。0001经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

y12-2y22-5y32.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.证

由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而

l0=0.所以η0，η1，η2线性无关。/ 7，