第二章 分解因式 全套教学案_第二章分解因式学案

第二章 分解因式 全套教学案由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“第二章分解因式学案”。

http://www.daodoc.com

第二章 分解因式

2.1 分解因式

一、教学目标

让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.二、教学过程

一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为面积.3371，，宽都是,求这块场地的424213× + 2413解法二：S=× + 24解法一：S=13× + 2213× + 2217337× =++=2 248481713371× =（++）=×4=2 24242421.公因式与提公因式法分解因式的概念.把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解

［例1］将下列各式分解因式：（1）3x+6;（2）7x2－21x;（3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－24x3－12x2+28x.分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;（3）8a3b2－12ab3c+abc =8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c =ab（8a2b－12b2c+c）（4）－24x3－12x2+28x =－4x（6x2+3x－7）

三、课堂练习

1.写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb

（m）（2）4kx－8ky

（4k）（3）5y3+20y

2（5y2）（4）a2b－2ab2+ab

（ab）2.把下列各式分解因式（1）8x－72=8（x－9）（2）a2b－5ab=ab（a－5）（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）

（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）

1.解：（1）2x2－4x=2x（x－2）;（2）8m2n+2mn=2mn（4m+1）;（3）a2x2y－axy2=axy（ax－y）;（4）3x3－3x2－9x=3x（x2－x－3）;（5）－24x2y－12xy2+28y3 =－（24x2y+12xy2－28y3）=－4y（6x2+3xy－7y2）;（6）－4a3b3+6a2b－2ab =－（4a3b3－6a2b+2ab）=－2ab（2a2b2－3a+1）;（7）－2x2－12xy2+8xy3 =－（2x2+12xy2－8xy3）=－2x（x+6y2－4y3）;（8）－3ma3+6ma2－12ma =－（3ma3－6ma2+12ma）=－3ma（a2－2a+4）;2.利用因式分解进行计算

（1）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21 =12.1×1.3+12.1×0.9－1.2×12.1 =12.1×（1.3+0.9－1.2）=12.1×1=12.1（2）2.34×13.2+0.66×13.2－26.4 =13.2×（2.34+0.66－2）=13.2×1=13.2（3）当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时

http://www.daodoc.com

四、课后作业

http://www.daodoc.com πR12+πR22+πR32 =π（R12+R22+R32）=3.14×（202+162+122）=2512

2.2 提公因式法

一、教学目标

让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.例1 把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）［例2］把下列各式分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;（2）6（m－n）3－12（n－m）2.分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.解：（1）a（x－y）+b（y－x）=a（x－y）－b（x－y）=（x－y）（a－b）

（2）6（m－n）3－12（n－m）2 =6（m－n）3－12［－（m－n）］2 =6（m－n）3－12（m－n）2 =6（m－n）2（m－n－2）.二、做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:（1）2－a=__________（a－2）;（2）y－x=__________（x－y）;（3）b+a=__________（a+b）;（4）（b－a）2=__________（a－b）2;（5）－m－n=__________－（m+n）;（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.解：（1）2－a=－（a－2）;（2）y－x=－（x－y）;（3）b+a=+（a+b）;（4）（b－a）2=+（a－b）2;（5）－m－n=－（m+n）;（6）－s2+t2=－（s2－t2）.三、课堂练习

把下列各式分解因式： 解：（1）x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）;（2）3a（x－y）－（x－y）=（x－y）（3a－1）;（3）6（p+q）2－12（q+p）=6（p+q）2－12（p+q）=6（p+q）（p+q－2）;（4）a（m－2）+b（2－m）=a（m－2）－b（m－2）=（m－2）（a－b）;（5）2（y－x）2+3（x－y）=2［－（x－y）］2+3（x－y）=2（x－y）2+3（x－y）=（x－y）（2x－2y+3）;（6）mn（m－n）－m（n－m）2 =mn（m－n）－m（m－n）2 =m（m－n）［n－（m－n）］ =m（m－n）（2n－m）.补充练习

把下列各式分解因式

解：1.5（x－y）3+10（y－x）2 =5（x－y）3+10（x－y）2 =5（x－y）2［（x－y）+2］ =5（x－y）2（x－y+2）;2.m（a－b）－n（b－a）

http://www.daodoc.com

http://www.daodoc.com =m（a－b）+n（a－b）=（a－b）（m+n）;3.m（m－n）+n（n－m）=m（m－n）－n（m－n）=（m－n）（m－n）=（m－n）2;4.m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）= m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q）=（m－n）（p－q）（m +n）;5.（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）=（b－a）2－a（b－a）+b（b－a）=（b－a）［（b－a）－a+b］ =（b－a）（b－a－a+b）=（b－a）（2b－2a）=2（b－a）（b－a）=2（b－a）2

2.3运用公式法

（一）一、教学目标

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.二、教学过程

1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2

（1）

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2－b2=（a+b）（a－b）

（2）

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，http://www.daodoc.com 第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解

观察式子a2－b2,找出它的特点.答：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2 =（3 m +2n）（3 m －2n）3.例题讲解

［例1］把下列各式分解因式：（1）25－16x2;（2）9a2－12b.4解：（1）25－16x2=52－（4x）2 =（5+4x）（5－4x）;121 b=（3a）2－（b）2 4211=（3a+b）（3a－b）.22（2）9a2－［例2］把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;（2）2x3－8x.解：（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－（m－n）2

=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）

说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.三、课堂练习

1.判断正误

http://www.daodoc.com 解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;

（×）（√）（×）（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.（×）

2.把下列各式分解因式 解：（1）a2b2－m2 =（ab）2－m 2 =（ab+ m）（ab－m）;（2）（m－a）2－（n+b）2

=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］ =（m－a+n+b）（m－a－n－b）;（3）x2－（a+b－c）2

=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］ =（x+a+b－c）（x－a－b+c）;（4）－16x4+81y4 =（9y2）2－（4x2）2 =（9y2+4x2）（9y2－4x2）=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）3.解：S剩余=a2－4b2.当a=3.6,b=0.8时，S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）答：剩余部分的面积为10.4 cm2.1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;（2）36－x2=（6+x）（6－x）;（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;（4）m 2－9n2=（m +3n）（m－3n）;（5）0.25q2－121p2 =（0.5q+11p）（0.5q－11p）;（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;（7）9a2p2－b2q2 =（3ap+bq）（3ap－bq）;（8）494a2－x2y2=（72a+xy）（72 a－xy）;2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）;（2）49（a－b）2－16（a+b）2 7

四、课后作业

http://www.daodoc.com =［7（a－b）］2－［4（a+b）］2

=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］ =（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）=（11a－3b）（3a－11b）;（3）（2x+y）2－（x+2y）2

=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］ =（3x+3y）（x－y）=3（x+y）（x－y）;（4）（x2+y2）－x2y2 =（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）=3a（x+y2）（x－y2）

（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）=（p2+1）（p+1）（p－1）.3.解：S环形=πR2－πr2=π（R2－r2）=π（R+r）（R－r）

当R=8.45,r=3.45，π=3.14时，S环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.Ⅵ.活动与探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc =［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc =abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc =a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2 =（b+c）［a2+bc+a（b+c）］ =（b+c）［a2+bc+ab+ac］ =（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］ =（b+c）（a+b）（a+c）

http://www.daodoc.com

运用公式法

（二）一、教学目标

1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.二、教学过程

在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2 而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2

三、新课

判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.1.例题讲解

［例1］把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49;（2）（m+n）2－6（m +n）+9.［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2

（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2.［例2］把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）－x2－4y2+4xy.［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.解：（1）3ax2+6axy+3ay2 =3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2（2）－x2－4y2+4xy =－（x2－4xy+4y2）

=－［x2－2·x·2y+（2y）2］ =－（x－2y）2

四、课堂练习

1.（1）是完全平方式 x2－x+14=x2－2·x·12+（112）2=（x－2）2（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求.（3）是完全平方式

14m2+3 m n+9n2 =（12 m）2＋2×12 m×3n+（3n）2

=（1 m +3n）22

（4）不是完全平方式 2.（1）x2－12xy+36y2 =x2－2·x·6y+（6y）2 =（x－6y）2;（2）16a4+24a2b2+9b4

=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2 =（4a2+3b2）2（3）－2xy－x2－y2 =－（x2+2xy+y2）=－（x+y）2;（4）4－12（x－y）+9（x－y）2 =22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2 =［2－3（x－y）］2 =（2－3x+3y）2

五、课后作业

1.（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2;（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;（3）y2+y+14=（y+12）2;（4）25m2－80 m +64=（5 m－8）2;x2（5）4+xy+y2=（x+y）22;（6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2 2.（1）（x+y）2+6（x+y）+9 =［（x+y）+3］2

http://www.daodoc.com=（x+y+3）2;（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2

=［a－（b+c）］2 =（a－b－c）2;（3）4xy2－4x2y－y3

=y（4xy－4x2－y2）=－y（4x2－4xy+y2）=－y（2x－y）2;（4）－a+2a2－a3 =－（a－2a2+a3）=－a（1－2a+a2）=－a（1－a）2.3.设两个奇数分别为x、x－2,得

x2－（x－2）2

=［x+（x－2）］［x－（x－2）］=（x+x－2）（x－x+2）=2（2x－2）=4（x－1）

http://www.daodoc.com