陕西师范大学数学专业研究生入学考试题_研究生入学考试数学一

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陕西师大2007年研究生入学考试试卷

一、计算题（30分）

1、lim111nsin； n12n23nn1

nmx11xm1xn



2、lim； （m,n正整数）

3、1e； 0x2

Rx2y2R2xex4、limxydxxdy2xyy22；

5、设fx1x2sinx，求fx,fx1.二、解答题（30分）

1、设函数f在R,上有定义，f01，且满足条件：fxyfxfyx,yR，试求fx.n2n1nx的收敛区间与和函数。n1

2、求幂级数

3、求a,b使得abxxdx最小。32

三、证明题（90分）

x2xn



1、设fx1x，证明： 2!n!

（1）当n为偶数时，fx在R上无零点；

(2)当n为奇数时，fx在上R有且只有一个零点。

2、设0ab，函数f在a,b上可导，证明：存在两点,a,b使得faabb22f.323、设函数f在a,b上连续且单调递增，证明：

4、设函数 baabbxfxdxfxdx.2a

x2y,(x,y)(0,0)22f(x,y)xy 0,(x,y)(0,0)

证明（1）f在（0，0）点连续且偏导数存在；（2）f在（0，0）点不可微.5、设函数f在a,b上连续，证明

lim1xfthftdtfxfaxa,b.h0ha6、设函数f在0,10,1上连续且fx,yfy,xx,y0,1，证明

dxfx,ydydxf1x,1ydy.00001x1x

陕西师大2007年研究生入学考试试卷

一、（10分）计算行列式

251371592

461

224 723

3二、（15分）证明：如果(xx1)|f1(x)xf2(x)，那么(x1)|f1(x)，(x1)|f2(x).三、（15分）已知三级方阵B的每一个列向量都是以下三元线性方程组的解

x12x22x312x1x2x32且rB2。

3xxx1231

（1）求的值；

（2）设A为此线性方程组的系数矩阵，求AB。n

四、（20分）矩阵的列向量是线性无关的，就称该矩阵为列满秩的。

（1）设A是mn矩阵，则A是列满秩的充分必要条件是存在mn可逆矩阵Q使

EnAQ0。

（3）已知

111210

A110 411531

求满足（1）中条件的可逆矩阵Q。

五、（15分）设A是mn实矩阵，B是n级实方阵，B是nm实矩阵，如果AB2A,BC0,且rAn.证明：矩阵BTATACCT为正定矩阵。

六、（15分）设V1,V2是线形空间V的两个非平凡子空间，证明：在V中存在使V1,i1,2.七、（25分）设A为三级方阵，有三个不同的特征值1,2,3,对应的特征向量分别为1,2,3,令123。

（1）证明不是A的特征向量；

（2）证明，A,A2线形无关；

（3）若A3A，计算行列式2A3E，其中E是三阶单位矩阵。

八、（15分）已知

00A001000110011 10

求A的若当标准型。

九、（20分）设R

A,B222是2级实方阵构成的欧氏空间，其内积为 ab,Aaijij

i1j12ij22,Bbij22R22

1101又设A100,A211,求由A1,A2生成的子空间WLA1,A2的正交补空间

W的一组标准正交基。