河南大学考研 高等代数真题_河南大学考研真题

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河南大学2009年研究生招生入学考试业务课试卷

考试科目及代码：高等代数 839

n,ns和s t的三个矩阵，且ABC=0，其中A的秩为一．（15分）设A,B,C分别为m创

n，C的秩为s．证明：B=0.二．（15分）若4级方针A的每一个行向量、每一个列向量的分量均由两个0和两个1组成，那么A的行列式等于０．

三．（15分）设A为n阶实对称矩阵，证明：V={x|x'Ax=0}是n维欧式空间Rn的一个子空间。

四．(20分)若以f(x)表示实系数多项式，试证： 2

W={f(x)|f(1)=0,叮(f(x))

是实数域上的一个线性空间，并求出它的一组基。n}

五．（20分）设A,B为两个幂等矩阵，即A=A,B=B。

证明：若秩(A)=秩(B)，则A与B相似。

六．（20分）设A,B为两个实对称矩阵，且A正定。证明：复方阵A+iB为可逆矩阵。

七．（20分）设A,B为数域P上两个不同的n阶对称矩阵，且r(B-A)=r，这里r(A)表示矩阵A的秩。证明：存在r-1个n阶对称矩阵C1，C2,,Cr-1，使得 22

r(C1-A)=r(Ci+1-Ci)=r(B-Cr-1)=1,i=1,2,,r-2。

八．（25分）设P,Q是数域P上任意两个n阶可逆方阵，Mn表示数域P上全体n³2阶方阵的集合。在Mn上定义变换s(P,Q)：

s(P,Q)(X)=PXQ,"x Mn。

若将Mn看做数域P上的线性空间，则s(P,Q)是此线性空间的一个线性变换。进一步令()

骣1琪琪2Q=琪，琪琪琪n桫

试求线性变换s(Q,Q)的所有特征值和特征向量。-1