重庆师范大学数学分析与高等代数考研试题_数学分析考研试题集锦

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重庆师范大学

2005年招收硕士研究生入学考试试题（初试）

考试科目：数学分析

一、用“N”定义证明极限。（8分）

3n2n3limn2n21

2二、求下列极限（55=25分）

（1）limx

arctgx

sinx （2）limx

n21n22n2n（3）lim333 nn1n3nn

1（4）lim nnsint

20dt

（5）lim 2nx

三、求下列积分（5315分）x

2（1）xcosxdx 

（2）

320 52（3）tgxsecxdx

四、（12分）设函数fx在x0的某个领域内具有4阶连续导函数，如果f/x0f“x00,f4x00则（1）当f4x00时，x0为fx的极大值点。

（2）当f

五（4 x00时,x0为fx的极小值点。8分）设a

1、a

2、、am、为m 个正数，ama

a1nax,am,a2m 2证明：n

六、设fx为a、b上的非常值连续函数且fx在a,b内可导，fafb 证明：a,b,，使f'0。

七、（10分）若fx为a,是上的连续函数，且存在极限limfx

x

证明：函数fx在a,上有界。

八、（10分）设函数fx，gx在区间a,b上可积，bb

b22

证明：fx.gxdxfxdxgxdx

aaa

九（12分）证明级数

3n5

收敛，并求和。n

2n1



十（10分）用确界存在定理证明单增有上界的数列必收敛

y222

十一求二重积分lndxdy,，其中D是由曲线yax,ybx0ab和曲线

xD

xyx,xyd0cd围城的平面区域。

2323

十二（10分）求全微分du3xcosyysinxdx3ycosxxsinydy 的

原函数。

十三（10分）求曲线积分

22xydxxydy 其中l是从点A1,1经B3,1，l

C3,3,D1,3回到A1,1的正方形的边。

考试科目：高等代数

一单项选择题（10题 每题3分）

（在每个小题的四个选项中只有一个是正确的）

1，设A,B均为nn0级方阵，且AB0，则必有（）

A A0且B0B A0或B0C A0且B0D A0或B0 2，设A是n级方阵，且A5，则5AA，5

n1



n1

'1

（）

n

B，5

n1

C，5D，5

3，向量组1,2,ss2线形相关的充分必要条件是（）ABC

1,2,,s中每个向量都可由组中其余向量线形表示 1,2,,s中至少有一个向量可由组中其余向量线形表示 1,2,,s中只有一个向量可由组中其余向量线形表示

D

1,2,,s中没有零向量。

4，若向量组1,2线形无关，而向量组1,2,3线形相关，则1,2,3的一个极大无关组为（）

A．1,2B，1,3C，2,3D，1,2,3

5，设A为mn矩阵，且非齐次线性方程组AXB有唯一解，则必有（）A，mnB，秩AmC，秩AnD，秩An

6，设A为sn矩阵，Q是nn可逆矩阵，秩Ar,BAQ,秩Br1.则（）A，rr1B，rr1C，rr1D，rr1 7，n级方阵A与B合同的充分必要条件是（）A存在两个n级可逆矩阵P与Q，使得B=PAQB存在n级可逆矩阵P，使得B=PAPC存在n级可逆矩阵P，使得BPAPD秩A秩B

8，二次型fx1,x2,x3x1x1x24x2的正惯性指数是（）

21'

A，0B，1C，2D，3

9，设A是n维线形空间V的一个线形变换，A的矩阵可以在某一在基下为对角矩阵的充分必要条件是（）

A，A有n个线形无关的特征向量。B，A有n个互不相同的特征向量C，A的特征值全是实数。D，A有n个互不相同的特征值 10，0是方阵A的一个特横值，则A（）A，0B，1C，2D，3 二计算题（共70分）

1，求多项式fxx2xx4x2与gxxxx2x2的一个最大公

因式（8分）

2，求多项式fxx5x9x7x2的有理根（如果有重根，要注明是几重根。）

（8分）

3，计算下列行列式（12分）

（1）

2a1a2

a12a2

234

a2（2）a1

4916



82764

a1a2

a3a3a3



ananan

2a3

2an

x1x2x3x41

x2x32x41

4，a,b为何值时，线形方程组

2x3xa2x4xb432413x15x2x3a8x45

有唯一解？无解？有无穷多解？（10分）

221

5，设矩阵A110,A2XAX,求矩阵X。（13分）123

6，若实二次型fx1,x2,x35x1x2x34x1x22x1x32x2x3是正定的，求的取值范围。（6分）

011

7，设实对称矩阵A101 110

求一个正交矩阵T，使TATTAT成对角矩阵。（内积按R的通常定义）（13分）三证明题（共50分）

1，证明：如果fx,gx1,fx,hx1,，那么fx,gxhx1（12分）

2，证明：（14分）12,23,31线形无关的充分必要条件是1,2,3线性无关3，数域P上线性空间P

nn

'

1

的两个子空间为

V1AAA,AP



'nn

,VAAA,AP,'

nn





证明：PnnV1V2（12分）



4，若方阵A可逆，且AB,，证明：AB（其中A,B分别表示方阵A，B的伴随

矩阵）（12分）