工程数学“线性代数”测试题参考答案_工程数学线性代数答案

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“线性代数”测试题参考答案

1102001．设矩阵A121,B050，问：A是否可逆？若A可逆，求A1B．（15分）223005

解：因为

110100

A121111341„„3分

223243

所以A可逆。利用初等行变换求A1，即

110100110100

121010011110

2

23001

043201



1101001100

0111101

01053

01641

000164

100

431

010531



001641

431

即A1531

„„10分

641

由矩阵乘法得

431

A1B5312008155

05010155„„15分

641

00512205

2．当取何值时，线性方程组

x1x2x42

x12x2x34x43

2x13x2x35x42

有解，在有解的情况下求方程组的全部解．（20分）

解：（1）因为

01 11

1A1

21 0

0

211012

011321431

315201132101211310003

101

当3时，r(A)= r([A  B])，所以方程组AX=B有解．„„5分（2）3时，由

2110110121

011301131

1

00033000000

得AX=B的一般解为： 

x1x32x41，其中x3，x4为自由元„„10分

x2x33x41

令x3= 0，x4= 0，得特解X0 =(1,1,0,0)对应的齐次方程组AX = O的一般解为

x1x32x4，其中x3，x4为自由元 

x2x33x4

令x3=1，x4=0得X1=(1,1,1,0)；

令x3=0，x4=1得X2=(2,3,0,1)．„„17分AX = O的一个基础解系为：{ X1，X2 }．

AX = B的通解为：XX0k1X1k2X2，其中k1，k2为任意常数．„„20分

1，5,2)，3．设向量组1(1，2，4,1)，2(4，8，16,4)，3(3，4(2，3，1,1)，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组．（15分）

解：因为

1

2

（1 2 3 4）=

41

48164

3152

23 11

10



00

4000

3571

21

070710

4000

3100

2

1„„8分 20

所以，r(1,2,3,4)= 3．„„10分

它的一个极大线性无关组是 1,3,4（或2,3,4）．„„15分 4．用配方法将二次型f(x1,x2,x3)x12x1x24x1x32x22x2x36x3化为标准型，并求出所作的满秩变换．（15分）解：

f(x1,x2,x3)x12x1x24x1x32x22x2x36x3

(x1x24x32x1x24x1x34x2x3)(x26x2x39x3)7x3(x1x22x3)(x23x3)7x3 令

y1x1x22x3,即得

f(x1,x2,x3)y1y27y3由式解出x1,x2,x3，即得

y2x23x3,y3x3（*）

x1y1y25y3

x2y23y3

xy

33

或写成x1115y1

x2013y2 1x300y3

5．用配方法将二次型f(x1,x2,x3)4x1x22x1x32x2x3化为标准型，并求出所作的满秩变换．（15分）

x1y1y2



解：做线性替换x2y1y2，（*）

xy

33

得f(x1,x2,x3)4(y1y2)2(y1y2)y32(y1y2)y3

4y14y24y1y3 22

1用配方法，得f(x22

1,x2,x3)4(y12

y23)4y2y3

令z1

1y1

y3,z2y2,z3y3（**）即得f(xx2

1,x2,3)4z14z2z3



x11

z1z2z3

由（*）和（**）式解出x 

x11,x2,x3，即得

2z1z22z3

x3z3



1

x1

112或写成1z1x211x2300

1z2 z3

6.试证：设n阶方阵A满足A2I，AAT

I，试证A为对称矩阵．（10分）证明：因为 A2I，AAT

I且

AT

IAT

A2

AT

A(AAT)AIA

所以A为对称矩阵。„„10分7.设A，B同为n阶方阵，I为n阶单位矩阵，且A＝1BI）,若B2＝I,则A2

＝A.（10分）

证明：因为

A2-AA（AI）=1

BI)(BI)

=1

(B2-I)0

则A2

＝A