《几何与代数》复习要点_几何代数复习大纲

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《几何与代数》复习要点

1． 第一章：

行列式的性质不必全部证明，重点是要会利用这些性质计算行列式的值；

计算行列式的典型方法：降阶、化成三角形行列式；

Vandermonde行列式及分块上、下三角形行列式的结果应记住。

熟练掌握线性方程组求解的两种方法：Cramer法则和Gua消元法。

2． 第二章：

P52：知道矩阵乘法的分配律,并会运用。

P50: 记住矩阵的乘法不能随意交换次序。

P55: 记住转置运算的性质，特别是第(4)条。

p57: 行列式乘法定理的证明不用掌握；但结果需记住。

P58: 熟练掌握可逆矩阵的定义，计算，性质，特别是第（5）条。以及在后续章节中给出的矩阵可逆的其它充要条件，和计算方法。

P63: 分块矩阵。此节内容务必都掌握。

P70: 记住矩阵秩的最初定义，会用k阶子式去分析矩阵的秩。引理2.2，2.3，命题2.3不用去看。会用初等变换去求矩阵的秩(初等行变换已经够用，例2.20)。记住两个矩阵等价的定义，记住初等变换不改变矩阵的秩（命题2.4）。P75: 记住几个初等矩阵的定义。理解定理2.4，证明不用掌握。

P77-78:个人认为推论2.2，2.3很有用，定理2.5和推论2.1若能记住更好。

P79: 会用初等行变换求解矩阵的逆及矩阵方程AX=B。如果矩阵方程是XA=B，会用转置

将其变形为AX=B,从而可用初等行变换求得解X，最后转置一下得XA=B的解X。

其中的一些结果在第四章中还可以用向量组的秩来证明。

3． 第三章：

掌握内积，外积，混合积的定义，物理意义，几何意义，及在直角坐标系下的计算。

知道两个向量共线的充要条件（定理3.1，推论3.1）。

知道三个向量共面的充要条件：定理3.2，推论3.2和混合积等于0。

仿射坐标系：了解即可；

向量积分配律的证明不必掌握：p101；

注意：知道“卦限”的概念；

3.4节所有内容应熟练掌握。注意：

会求直线在平面上的投影直线（课上曾举过例，往年试题也有例子）；

异面直线：公垂线的方向向量、距离要求会计算；但不要求会求公垂线方程；

3.5节空间直角坐标变换：不考。

4． 第四章：

4.1.1-4.2.2：熟练掌握。

p135:矩阵的值域和核空间及其记号需要掌握。刻画矩阵值域的例子：p146例4.15解法一（解法二不必去看）和p156例4.21。刻画矩阵核空间的例子：p156例4.21。

4.2.3: 知道定理4.6（及前面的3个引理），但证明不用去看；掌握例4.11.4.3.1：需掌握基的定义并会求，注意例4.14和例4.15可用4.5节的例4.21(p156)的方法求解。

4.3.2：对于基变换和坐标变换，只要求会求R,R这两个空间的基变换、坐标变换

4．4节：4.4.1和4.4.3要求掌握；4.4.2：记住Schmidt正交化公式（三个向量的正交公式应该够用）

4.5.1-4.5.3: 熟练掌握

4.5.4节：不必记住教材上的分析和结论，但务必学会从方程组解的情况判断平面直线的位置关系，可结合p108的例3.13复习。往年试题也有此类问题。

4.6节最小二乘解：不考。23TTT T 09-10-2 2.5.3节：关于矩阵秩的不等式的命题应当熟悉，证明过程不必掌握。但作为对分块矩阵运算的运用，可以了解一下证明。

5． 第五章：

5.1节：熟练掌握

5.2节：5.2.1-5.2.2要求掌握；5.2.3：要求记住并理解所有的结论，证明不必全部掌握，但建议理解定理5.3的证明；另外，要求掌握5.2节的所有例题。

5.3节：5.3.1：记住性质5.1-5.2和定理5.7，定理5.7的证明不必掌握；知道定理5.7后面的注中的结论（在p207的第32题中有用）；5.3.2：熟练掌握。

5.4节：不考。

6． 第六章：

6.1.1-6.1.2：知道“二次型的矩阵”的定义，知道二次型与实对称的相互转化。务必知道合同与相似两个概念的区别与联系。知道如何由定理6.1推导出定理6.2。熟练掌握将一个二次型化为标准形的两种方法：正交变换和配方法。

6.1.3：知道正负惯性指数，秩的定义；知道命题的结论即可；

6.1.4：熟练掌握。会运用218页定理6.5(Sylvester定理)，其证明不用掌握；

6.2-6.3：注意：要求会画简单的空间图形：曲线曲面，投影柱面，投影曲线

旋转面：只要求学生掌握旋转轴是坐标轴的情形；

需记住二次曲面的分类，会用二次型的惯性定理对二次曲面进行分类；

233页例6.11：不必区分第一二类正交变换对图形的影响。

注：Matlab在期末考试中不作要求。

纯属个人观点，仅供参考