上海交大大学物理习题8_大学物理第8章习题

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习题8

8-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后6，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。解：根据题意，对于A、B两点，xx1x21222而相位和波长之间满足关系：，u12m/sT代入数据，可得：波长=24m。又∵T=2s，所以波速。

8-2．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为yAcos(t)，波速为u，求：

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何?

xyAcos[（t）0]u解：（1）设平面波的波动式为，则P点的振动式为：

xyPAcos[（t1）0]u，与题设P点的振动式yPAcos(t)比较，xxx101yAcos[(t)]uu有：，∴平面波的波动式为：；

xyAcos[（t）0]u（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：，则P点的振动式为：

xyPAcos[（t1）0]u，与题设P点的振动式yPAcos(t)比较，xxx101yAcos[(t)]uu有：，∴平面波的波动式为：。

8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为yAcos(2t)，试写出：（1）该平面简谐波的表达式；

（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处）。

解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为：

xlyAcos[2（t）0]yAAcos[2（t）0]uuA，则点的振动式：

2l0yAcos(2t)uA题设点的振动式比较，有：，lxyAcos[2（t）]uu∴该平面简谐波的表达式为：

（2）B点的振动表达式可直接将坐标xdl，代入波动方程：

yAcos[2（tldld）]Acos[2（t）]uuu

216，x2m1ts8-4．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，3时的波形如图所示，且周期T为2s。

（1）写出O点的振动表达式；（2）写出该波的波动表达式；（3）写出A点的振动表达式；（4）写出A点离O点的距离。

解：由图可知：A0.1m，0.4m，而T2s，则：u/T0.2m/s，22k5T，∴波动方程为：y0.1cos(t5x0)

O点的振动方程可写成：yO0.1cos(t0)

1ts0.050.1cos(0)3时：yO0.05，有：3由图形可知： dyO5003，3（舍去）考虑到此时dt，∴那么：（1）O点的振动表达式：

yO0.1cos(t3；))3（2）波动方程为：；

（3）设A点的振动表达式为：yA0.1cos(tA)

1tscos(A)03时：yA0，有：3由图形可知： y0.1cos(t5xdyA570AA6（或6）考虑到此时dt，∴

57yA0.1cos(t)yA0.1cos(t)66∴A点的振动表达式：，或；

（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：

yA0.1cos(t5xA)3，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有： 57tt5xAxA0.233m63，所以：30。

8-5．一平面简谐波以速度u0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式；

（2）波动表达式；

（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。解：这是一个振动 图像！

3y510cos(t0)。O由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：（1）当t0时，yOt0dyO2.510，考虑到：dt3t00，有：

03，dyOy0当t1时，Ot1，考虑到：dt，有：

5yO5103cos(t)63； ∴原点的振动表达式：

t1032，56，（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：5124524ky5103cos(tx)u60.825，∴6253； 而x252kx3.27rad24（3）位相差：。

y5103cos(5tkx)63

38-6．一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为9.010J/(sm)，频率为300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？

3解：（1）已知波的平均强度为：I9.010J/(sm)，由Iwu有：

I9.0103w3105J/m3u300

53wmax2w610J/m；

11uWwd2wd244（2）由WwV，∴。

3438-7．一弹性波在媒质中传播的速度u10m/s，振幅A1.010m，频率10Hz。若该媒质的密342800kg/m度为，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积S4.010m的总能量。

1IuA222解：（1）由：，有：

122I103800（104）（2103）1.58105W/m2； 242（2）1分钟为60秒，通过面积S4.010m的总能量为：

WISt1.581054104603.79103J。3105J/m34(0.14m)21m4.62107J8-8．S1与S2为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为d5/4，S2质点的振动比S12y10Acost2ST，且媒质无吸收，超前，设1的振动方程为（1）写出S1与S2之间的合成波动方程；（2）分别写出S1与S2左、右侧的合成波动方程。解：（1）如图，以S1为原点，有振动方程：

y10Acos2tT，S2S1x则波源S1在右侧产生的行波方程为：

y1Acos(22tx)T，y20Acos(2t)T2，由于S2质点的振动比S1超前2，∴S2的振动方程为设以S1为原点，波源S2在其左侧产生的行波方程为：

22tx)T，由于波源S2的坐标为5/4，代入可得振动方程： 2252y20Acos(t)y20Acos(t)T4T2比较，有：2。，与y2Acos(2222tx2)Acos(tx)TT∴。

可见，在S1与S2之间的任一点x处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成波为：y2Acos(yy1y22Acos2xcos2tT，为驻波；

22tx)ST1（2）∵波源在左侧产生的行波方程为：，2222y2Acos(tx)y左y1'y22Acos（tx）TT与叠加，有：；

22y2'Acos(tx')ST2（3）设波源在其右侧产生的行波方程为：，225y20'Acos(t')S5/4T42代入波源的坐标为，可得振动方程：，2y20'y20Acos(t)T2比较，有：'3。与2222y2'Acos(tx3)Acos(tx)TT∴。22y1Acos(tx)T与叠加，有：y右y1y2'0。

表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。

18-9．设S1与S2为两个相干波源，相距4波长，S1比S2的位相超前2。若两波在在S1、S2连线方向

y1'Acos(上的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的强度如何？

S2S1SSS解：（1）如图，1、2连线上在1外侧，r2r12221(r2r1)24∵，∴两波反相，合成波强度为0；

（2）如图，S1、S2连线上在S2外侧，2∵∴两波同相，合成波的振幅为2A，22I(2A)4A4I0。合成波的强度为：212(r2'r1')2()04，8-10．测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘D伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率，量度相邻波节间的平均距离d，可求得管内气体中的声速u。试证：u2d。

证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：

x2，再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距

2，那么：2d，所以波速为：u2d。离d，所以：d8-11．图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为声源，D为声音探测器，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在B的 解：（1）振动势能和动能总是为零的各点位置是的地方。

2kx（2k1）x2，3）22，可得：2（k=0，1，即：（2）振动势能写成：

1122dEPk(dy)22A2cos（x）cos2tdV222 02半个波段内的振动势能： ∴11222Ep2k(dy)2A22cos（x）cos2tdx02022 A22cos2t8

1122dEKdmv2A22sin（x）sin2tdV222而： 02半个波段内的振动动能： ∴11222EK2dmv2A22sin（x）sin2tdx02022 A22sin2t8 cos(2x2）0所以动能和势能之和为：EEKEP8A22。

8-14．试计算：一波源振动的频率为2040Hz，以速度vs向墙壁接近（如图所示），观察者在A点听得拍音的频率为3Hz，求波源移动的速度vs，设声速为340m/s。

解：根据观察者不动，波源运动，即：uS0，uR0，u0uuS观察者认为接受到的波数变了：，其中u340，2043，02040，分别代入，可得：uS0.5m/s。88-15．光在水中的速率为2.2510m/s(约等于真空中光速的3/4)，在水中有一束来自加速器的运动

电子发出辐射[称切连科夫(Cherenkov)辐射]，其波前形成顶角116的马赫锥，求电子的速率．

2.251088v2.6510mαu116sinsinsin2v2s2解：由，有 ：。

思考题8 8-1.下图（a）表示沿x轴正向传播的平面简谐波在t0时刻的波形图，则图（b）表示的是：（A）质点m的振动曲线；（B）质点n的振动曲线；（C）质点p的振动曲线；（D）质点q的振动曲线。u

答：图（b）在t=0时刻的相位为2，所以对应的是质点n的振动曲线，选择B。8-2．从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。.答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。

（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。

8-3．设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波的强度及振幅与离开波源的距离有何关系？

答：在波源的平均功率不变，且介质无吸收的情况下，P为常量，那么，通过距离为r的柱面的平均P11IA2rr，r。能流为：PI2r，∴8-4．入射波波形如图所示，若固定点O处将被全部反射。

（1）试画出该时刻反射波的波形；（2）试画该时刻驻波的波形；

（3）画出经很短时间间隔t（