上海交大05年数学分析试题研究生考试数学专业考研试题_上海交大考研数学真题

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上海交大05年数学分析 试题一、二、三、设函数f(x)定义在R上，满足xR，有2f(x)f(1x)x2，试求f(x)的表达式； 设{xn}是收敛数列，inf{xn},sup{xn}，证明,中至少有一个属于{xn}。

a1设a>0,c>0，数列{an}定义如下：xcc11证明数列{an}2(aa),a1n2(anan),n1,2，收敛，并求其极限；

四、五、设f(x)sin1，试求f'(0)； tdt,x0,f(0)0.0设f(x)在[1,)上可导，f(1)1，且满足f'(x)1，试证：limf(x)A存在，22xxf(x)且A1；

4六、设an10f(x)(nx)dx,n1,2，其中f(x)为[0,1]上的连续可微函数，(x)为连续的周期函数，周期为1，且(x)dx0，试证明：

011）(x)的任意一个原函数亦必为周期等于1的周期函数；

2）an12n级数收敛；

七、计算曲面积分Ixdydzydzdxzdxdy(xyz)22232Sx2y2z2，其中S为椭球面2221的外侧；

abc

八、叙述并证明复分析中的最大模定理；

九、设f(x)是定义在I[a,b]上的有界函数，(x)是f(x)的振幅（函数），定义如下：

(x)|limf(t)limf(t)|，txtx1）试证

(x)dxf(x)dxf(x)dx

Iaabb其中(x)在I上的Lebesgue积分，右端分别试Darboux上下积分；

2）试证明f(x)在I上Riemann可积的充要条件是其不连续点的集合为零测度集。