逆向思维在数学分析中的作用_数学中的逆向思维

逆向思维在数学分析中的作用由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学中的逆向思维”。

摘 要

数学分析是数学殿堂的基石性学科,其内容的广泛性与深刻性包含着形式多样的数学思想与方法,而逆向思维在解决数学分析问题时别开生面.因此,本文就逆向思维在数学分析中作用进行初探.本论文中,首先阐述逆向思维的内涵及其特征;其次将以数学分析为载体,选取逆向思维作为研究切入点,主要以举例子的形式叙述了逆向思维在数学分析中的具体作用.无论其深化定义、定理的理解,高效的强化解题,批判性命题验证,还是创新性数学品质,无不渗透出笔者最后总结性论述,即逆向思维在数学分析中具有举足轻重的地位.二十一世纪的信息时代日新月异.数学思维无处不在,无时不有,而逆向思维就是在对数学文化素养的思想研究的基础上,提高数学新意,感受理性美誉,体会数学文化品位,这已成为国内外数学发展的重要趋势.关键词:逆向思维,作用,数学分析,重要性

The function of reverse thought in mathematical

analysis

Abstract:Mathematical analysis is the cornerstone of the temple mathematical discipline,breadth and depth of its content contains a variety of mathematical ideas and methods,and the spectacular reverse thinking in solving mathematical analysis of the problem.Therefore,this paper analyzes the role of reverse thought in mathematics carried study.In this thesis,first expounded the connotation and characteristics of reverse thought ,mathematical analysis will be followed by the carrier,select reverse thinking as a research starting point,mainly in the examples given in the form of reverse thought described in mathematical analysis of the specific role.Whether its deepening definitions,theorems understanding and efficient strengthen problem-solving,critical proposition verification,or innovative mathematical quality permeates the author concludes discourse, reverse thought plays a decisive role in the mathematical analysis.Information era of the 21st century rapidly.Mathematical thinking is everywhere and at all times there , but the reverse thought is based on the study of mathematics literacy ideas on improving mathematical ideas, feelings rational reputation,experience culture grade math,which has become an important trend in the development of mathematics at home and abroad.Keywords: reverse thought, function, mathematical analysis,important.目 录

一、引言.......................................................3

二、逆向思维内涵及特征.........................................1

（一）逆向思维的内涵.......................................1

（二）逆向思维的特征.......................................1

三、逆向思维在数学分析中的重要性...............................2

四、逆向思维在数学分析中四种作用...............................3

（一）深化定义、定理理解...................................3

（二）高效强化解题.........................................6

（三）批判性命题验证......................................11

（四）创新性数学品质......................................15

五、结束语....................................................15

六、参考文献..................................................17

一、引言

司马光“砸缸救小孩”是一个古老而又优美的传说,机智的将常规的“救人离水”转变成“让水离人”.他揭示了一个真理:逆向思维有时比正向思维更能高效解决实际问题,数学思维方法亦同.由于许多数学定义,数学公式,数学定理,数学运算以及解题过程均有可逆性,其作为可逆性理论为逆向思维提供理论依据.它不拘泥常规、常法、善于开拓、变异,极有利于打破旧框框的束缚,解放人们的思想,培养思维的灵活性,使主观能动性得以充分发挥,改变注入式数学思维应变能力不足的缺陷,产生认识上的新飞跃.这样,就能使学生在亲身的探索中,掌握数学分析知识间的内在联系,透彻地理解教材,巩固所学知识,并能培养学生探索能力,打破思维定势,激发学习兴趣,开阔知识视野.二、逆向思维内涵及特征

（一）逆向思维的内涵

逆向思维又称反向思维,通俗地讲,就是在解决问题时,“一计不成，又生一计”,若把AB的连续思维看作正向联结,并称这个心理过程为正向思维,那么就把相反的连续BA看作为逆向联结,并称这一心理过程为逆向思维.逆向思考是思维向相反方向重建的过程.它是人们在研究过程中有意识地去做与习惯性思维方向完全相反的探索,就是站在对立角度上考虑、解剖问题,得到与公理、定理相悖的结论,或得到与条件相矛盾的结果,从反面达到解决问题的目的.思维的可逆性,使人们在认识客观事物时,不仅可以顺向思考,而且可以逆向思考;不仅可以从正面看,而且可以从反面看;不仅可以从因到果,而且还能执果索因,正是这种逆向功能决定了逆向思维在创造活动中具有独特的作用.（二）逆向思维的特征

爱因斯坦在论述自己科学活动时,曾多次提到“采取相反路线”,“反过来加以考虑”,即逆向思维,其具有以下本质特征: 普遍性:逆向思维在各种领域中都有其独到的适用性,由于对立统一规律是普遍适用的,而对立统一的形式又是多种多样,有一种对立统一形式就有一种逆向思维的角度.怀疑性:逆向思维在某种程度上是以怀疑为手段,以扫除传统偏见和谬误,追求真理,发展科学为目的.批判性:逆向思维是与正向思维相比较而言的,正向思维是指常规的、常识的、公认的或习惯的想法与做法.逆向思维则恰恰相反,是对传统、惯例、常识的反叛,是对常规的挑战,它能够克服思维定势,破除由经验和习惯造成的僵化的认识模式,要求多方位探究,有批判的吸收、有批判的选择、有批判的理解.新颖性:循规蹈矩的思维和按传统方式解决问题虽然简单,但容易使思路僵化、刻板、摆脱不掉习惯的束缚,得到的往往是一些司空见惯的答案,其实,任何事物都具有多方面属性,由于受过去经验的影响,人们容易看到熟悉的一面,而对另一面却视而不见,逆向思维克服这一障碍,能够随机应变,触类旁通,不受某种固定的思维模式的局限,往往是出人意料,给人耳目一新的感觉.创新性:逆向思维所追求的是创新和独到,它不满足于一般思维所研究的已知领域,主要注重于探求人类未知天地.将以前所未有的新角度、新观点去观察分析问题,思维方法创新独特,能够提出超常的想象.想别人所未想、求别人所未求、做别人所未做的事情.深刻性:它表现为深入思考问题,细致分析问题,不放过任何蛛丝马迹来钻研探索复杂问题背后的本质属性.此外,还有独特性、灵活性和探究性.[1]

三、逆向思维在数学分析中的重要性

逆向思维重要性之一:常规思维难以解决的问题,通过逆向思维却可能轻松破解.逆向思维重要性之二:逆向思维会使你独辟蹊径,在别人没有注意到的地方有所发现,有所建树,从而制胜于出人意料.逆向思维重要性之三:逆向思维会在多种解决问题的方法中获得最佳方法和途径.逆向思维重要性之四:自觉运用逆向思维,会将复杂问题简单化,从而使效率和效果成倍提高.逆向思维重要性之五:逆向思维可运用在各个领域.逆向思维最可宝贵的价值,是它对人们认识的挑战,是对事物认识的不断深化,帮助我们克服正向思维中出现的困难,寻求新的思路,新的方法深化知识,开拓新的知识领域,在探索中敢于离径叛道,大胆立异,并由此而产

生“原子弹爆炸”般的威力.再遇到新问题时就不会只走“华山一条路”了,而是“水路不通走旱路,条条大道通罗马”,它是开拓型人才必备的思维品质.四、逆向思维在数学分析中四种作用

（一）深化定义、定理理解

数学分析这门课程研究的对象是函数,所用的研究方法是极限方法,这种抽象又严谨的理论体系要求必须深度掌握数列极限的定义,为数学分析的继续学习打下坚实基础.1.定义 设有数列an,a是有限常数,若对任意0,总存在正整数N,对任意正整数nN,有 ana, 则称数列an的极限是a(或a是数列an的极限)或数列an收敛于a(an是收敛数列),表为

limana或ana(n).n数列an的极限是a,用逻辑符号可简要表为: limana0,NN,nN,有ana[2]

n思考 ①如何理解N不唯一? ②若0,N0,当nN时,an中有无穷多个项满足ana,是否limana? n1(1)n 首先,举反例说明并计算N不是唯一的.n1(1)n虽然数列an1(1)n满足对0,N

2其次,分析数列当n2kN时(k为自然数),虽然an中有无穷多个项满足a2k0,但liman不存在.n

这样,即可对数列极限的N语言有了本质的认识和更精确的理解.[3]

函数极限与数列极限定义的不同,形式上的无关联性造成不可相互转化的假象,海涅定理恰恰证明了其本质的相通性,构建起函数极限与数列极限之间的桥梁,所以理解海涅定理的证明极其重要.而其充分性的证明则采取反证法(从命题的反面入手，通过合理论证找出矛盾,从而确认命题的真实性的一种间接证法,其基本依据是逻辑学中的矛盾与排中律,推知假设错误,故结论成立.其思维特点是逆向思维)推得.2.海涅定理 limf(x)b对于任意数列an,ana且limana

xa n有limf(an)bn

分析 必要性,应用函数极限定义和数列极限定义可得极限limf(an)bn

充分性,因为在已知条件中,这样的数列an是任意的,当然是无限多的,所以从已知条件出发直接证明有limf(x)b是困难,运用反证法.xa证明 必要性 已知limf(x)b,即0,0,x:0xaxa

有 f(x)b

n对于任意数列an,ana且limana,根据数列极限定义,对上述

0,NN,nN,有0ana 从而,nN,有f(an)b,即limf(an)b

n 充分性 应用反证法.假设limf(x)b,根据函数极限的否定叙述

xa 00,0,x:0xa

有 取 1,a1:0a1a1,有f(a1)b0,11,a2:0a2a,有f(a2)b0,22

..............

11,an:0ana,有f(an)b0，nn

..............于是，构造出一个数列an,ana,因为n 所以limanan

10(n)n显然，limf(an)b,与已知矛盾.n

著名的Lagrange中值定理的论证,其辅助函数的构造,即用分析法(从结论着手进行推证,推得符合条件或易证命题,推证的每一步均可逆,是原命题得证的一种逆向思维解题法)推得.3.Lagrange中值定理

若函数f(x)满足下列条件:（1）在闭区间[a,b]上连续;（2）在开区间(a,b)可导.则在开区间（a,b）内至少存在一点c,使 f(c)f(b)f(a).ba分析 观察发现,Lagrange中值定理中的两个条件与Rolle定理中的前两个条件相同,当f(a)f(b)时,Lagrange中值定理就是我们所学过的Rolle定理.也就是说,Rolle定理是Lagrange中值定理的特例,基于这种关系,自然会想到是否能够引用Rolle定理去证明Lagrange中值定理的结论,如何利用Rolle定理,如何构造满足Rolle定理的辅助函数?观察图像

由拉格朗日中值定理结论f(c)斜率,故可设k

f(b)f(a),其右端是一个常数,即点c的baf(b)f(a),则有f(b)f(a)k(ba),即

baf(b)kbf(a)ka,仔细观察上式的特点,不难发现一个能使F(a)F(b)的新函数:F(x)f(x)kx.故,F(x)就是证明中所需要的辅助函数.证明 令F(x)f(x)kx,其中 kf(b)f(a),由题设可知,F(x)在ba

[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)F(b),即F(x)满足罗尔定理的全部条件,故在(a,b)内至少存在一点c,使得F(c)0, 即f(c)f(b)f(a),证毕.ba

（二）高效强化解题

许多关于数学分析的计算、证明题,难以解决的是如何去观察和分析问题的条件与结论,如何寻找条件与结论之间的联系,如何证明才是正确的,而又怎么进行证明过程的论述,更为甚者不知如何才算证明完毕?此时,逆向思维就是解决数学分析问题一种行之有效的方法.234例

一、证明:数列极限limn3nnn4 1n分析 若直接证明此数列极限为4,没有公式可以套用,此时可以考虑判断极限存在性的两个重要准则:两边夹定理和单调有界准则.这样我们把要证明的极限与存在准则有机地联系在一起,设所求数列为xn,目的是证明

xn4(n),那么,根据两边夹定理,需构造两个数列yn和zn,使ynxnzn,且共同极限为4,这样就转化为如何构造这两个数列yn、zn的问题.4444z证明 设 yn,n33nnn1nnnn, 1n显然ynxnzn,且limynlimzn4,有4xn4

234 所以,limn3例

二、计算 ①limnnnn4 1nn(n1)(n2)(nn)

n ②limnn(a1)an分析 两题看似复杂,实则巧妙.①可转化为定积分定义形式,这类题目的特点是:先把极限转化为某一函数在区间0,1上的定积分,再把区间0,1进行等分,从而把求极限问题转化为求一个特定结构的和式极限.②可利用级数

收敛的必要条件(若级数un收敛,则limun0)来解决问题,二者均为逆

n1n向思维实例.解 ①limnn(n1)(n2)(nn)12nlimn(1)(1)(1)nnnnnn1nk lim1

nk1n1kln(1)nk1n limenn

e01ln(1x)dxe2ln21

1nnn11 则级数n是收敛的②由lim(n)nan1aa 根据收敛函数的必要条件, 则limnn0 na例

三、设a1c0,an1anc,证明:liman存在并求其值.[4]

n分析 用数学归纳法容易证明数列an是单调递增的,为找到an的上界,采用逆向推理方法,先设limana,代入递推关系式an1anc,得

na2ac,由于liman非负,因此an114c,从而对任何自然数n, 2必有an114cc1,然后用数学归纳法证明这一等式成立.2证明 用归纳法证明数列an严格增加有上界,显然 当n1时,有a1a2,设nk时,有akak1,则akcak1c, 即akcak1c,有ak1ak2,即数列严格增加.显然,当n1时,有a1cc1,设nk时，akc1，则ak1cakcc1c2c1c1,即数列an有上界(上界是c1),根据公理,数列an收敛.2设limana,已知an1can,有liman1climan,即a2ca.nnn2解得a(114c).由极限保号性，a不能是负数，2(114c)2则数列an的极限是a例

四、设函数f(x)在[0,)内二阶可导,且f(x)0,f(0)0,证 明:x10,x20,有fx1x2f(x1)f(x2).分析 这是一道未知函数表达式,且仅给出函数导数性质的证明题.首先,明确利用函数的单调性来证明函数不等式是一种基本方法,而证明函数的单调性又需要构造辅助函数,求导判断其增减性.其次,如何构造辅助函数？

欲证不等式fx1x2f(x1)f(x2),如题中所给出的两个具有任意性的x1和x2,将其中一个暂时固定,另一个自由变化,如:暂时固定x2,将x1改为x,令F(x)f(xx2)f(x)f(x2)作为辅助函数,求导得

F(x)f(xx2)f(x),由此很难判断该表达式是大于0还是小于0.观察表达式f(xx2)f(x)，表示函数f(x)的导数在x与xx2两点处的函数值之差，联系Lagrange中值定理，有f(b)f(a)f(c)(ba)，其中c(a,b),于是,有f(xx2)f(x)f(c)xx2x.此时,方可判断F(x)的增减性.证明 令F(x)f(xx2)f(x)f(x2),其中x,x20, 求导得F(x)f(xx2)f(x)又函数f(x)在[0,)内二阶可导，导函数 F(x)f(xx2)f(x)在x,xx2上连续,在(x,xx2)内可导,根据Lagrange中值定理,至少存在一点c(x,xx2),使得

F(x)f(xx2)f(x)f(c)xx2xf(c)x20

F(x)在x,xx2上单调递减,从而有F(x)F(0)即,f(xx2)f(x)f(0x2)f(0)f(x2).由x的任意性,可将x换成x1,既得fx1x2f(x1)f(x2),其中

x10,x20.分析 以下两道典型题若应用综合证法直接从已知条件去证明将会很难入手,此时考虑反证法,证明两题将会很显然.例

五、设f(x)在a,b上连续,且f(x)0,证明:若f(x)dx0,则f(x)在aba,b上恒等于零.证明 反证法 假设f(x)在a,b上不恒等于零,则必x0a,b, 使f(x0)0不妨设f(x0)0,又f(x)在x0连续,由连续函数的局部保号性知,0,当xx0,x0a,b时,有f(x)0.设f(x)在x0,x0上的最小值为m,则m0.由定积分的可加性及f(x)0,有f(x)dxabx0af(x)dxx0x0x0f(x)dxbx0f(x)dx

bx0x0f(x)dxx0mdx2m0

这与已知条件f(x)dx0矛盾,所以f(x)在a,b上恒等于零.a例

六、设f(x)在0,上连续,并且f(x)dx0,f(x)cosxdx0,试证明:

00在(0,)内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.证明 假设f(x)在(0,)内无零点,则由介值定理知,f(x)在(0,)内不变号,与f(x)dx0矛盾,故至少存在1,使f(1)0;0又若f(x)在(0,)内仅有一个零点1,则由介值定理及f(x)dx0知

0f(x)在区间(0,1)和(1,)内必异号,而cosxcos1在(0,1)和(1,)内也异号,于是f(x)(cosxcos1)不变号,从而f(x)(cosxcos1)dx0,0矛盾.所以,在(0,)内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0.例

七、计算曲面积分

I[Sxxxzxf()x3]dydz[f()y3]dzdx[f()z3]dxdy yyyyy其中S是球面x2y2z22Rz(方向为内侧),f(u)具有连续导数.分析 本题被积函数复杂,正向计算实属曲面积分难题,但是可考虑尝试增加一面,再减去此面,应用奥—高公式(设V是R3中双侧闭曲面S所围成的xy型(同时既是yz型,又是zx型)有界闭体.若三元函数P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)及其偏导数在包含V的区域上连续,则

PdydzQdzdxRdxdy(sVPQR)dxdydz,其中曲面S的外侧 xyz为正).看似加减面将问题复杂化,但是会使计算更为简便.解 V为S所围成球体, 设p(x,y,z)xxxzxf()x3,q(x,y,z)f()y3,r(x,y,z)f()z3 yyyyyp1xxxf()2f()3x2 xyyyy则p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z)及

r1xqxx2f()3y2,f()3z2,在y0连续,zyyyyy由奥——高公式,I3(x2y2z2)dxdydz,设

Vxrsincos,yrsinsin,zRrcos,(02,0,0rR)则(x,y,z)r2sin, (r,,)I3(x2y2z2)dxdydzV3dd(r22RrcosR2)r2sindr

0002RR5R33223(22R22)R5535

（三）批判性命题验证

心理学家盖耶说过:“谁不考虑尝试错误,不允许学生犯错误,就将错过富有成效的学习时刻.” 持批判性的态度,应用逆向思维真正理解命题的思想,消化命题,克服思维绝对化、表面化,彻底改变不求甚解的习惯.例

八、若数列an、数列bn都是收敛数列,且存在自然数N,当nN时,有anbn,则limanlimbn.nn 若条件anbn改为anbn,其结论仍为limanlimbn

nn而不能断言limanlimbn[5] nn分析 若正向分析,则会无从下手,而举一反例来说明该命题不成立将轻而1111易举.如:,但是limlim0.nnnnnn 数学分析中,继了解极限后,应用极限方法研究,无论在理论上或是在应用中都常见的连续函数,进而研究一致连续,区分一致连续与连续的区别,真正地领会一致连续的本质及其与连续的关系,对后面的学习中遇到一致收敛、一致有界等概念也有重要作用.一致连续是函数的整体性质,它反映了函数在区间上的更强的连续性,而连续是函数的局部性质,函数f(x)在区间I上一致连续则一定连续,反之不一定.定理 f(x)在a,b内或a,b上一致连续f(x)在a,b内或a,b上连续.这个定理的逆命题是不成立的.分析 通过举一反例f(x)x2在0,上连续,但非一致连续.取xnn1,xnn,n1,2,,当n时, xnxnn1n0 但是f(xn)f(xn)1

于是,取定差01,则无论取得多么小,当n足够大时, 那些xn与xn的差小于,但是函数数值之差不会小于0, 因此得出f(x)x2在0,上连续,但非一致连续.拓展:[6]

定理1 设f(x)在有限开区间a,b上连续,则f(x)在a,b上一致连续的充要条件是limf(x)与limf(x)存在并有限.xaxb注:①若f(x)在有限开区间a,b上有连续的导函数,且limf(x)与xaxblimf(x)均存在且有限,可以推出limf(x)与limf(x)都存在并有限,因此xaxbf(x)在a,b上一致连续.②当函数f(x)在区间(,)上连续,定理的必要性不再成立,如

f(x)x在(,)上一致连续,但在端点无极限,对于无穷区间充分

性仍然是对的.定理2 设f(x)在区间[a,)上连续,则下列条件之一满足时f(x)在[a,)上一致连续.(I)limf(x)A(有限)x(II)若存在[a,)上一致连续函数(x),使得limf(x)(x)0

x(III)f(x)在区间[a,)上可导，并且导函数有界(IV)f(x)在区间[a,)上满足Lipschitz条件(V)f(x)在区间[a,)上单调有界.定理3 若f(x)是区间(,)上的连续函数,若也是周期函数,则必一致连续.2例

九、证明:若an收敛,则an也收敛,反之是否成立? n1n12分析 欲证an收敛,则an也收敛,这只需要用到比较判别法即可证得而欲证逆命题是否成立,则应从两方面考虑:一是证逆命题成立,一是证逆命题不成立,无论证哪方面,直接法都很难.于是,我们可以举反例去否定,这样会收到事半功倍之效.证明 已知an收敛,则liman0,即01,NN,nN,有

n1n1n1n

an1,从而有anan,不妨设nN,有anan.22设级数an与an的部分和分别是An和Bn.已知nN,有 2n1n1nnAnakakBn.2k1k1已知级数an收敛,则limBnB(常数).显然数列An是单调增加有

n1n2上界(B就是它的一个上界).于是,数列An收敛,即an收敛.n1112反之不成立,例如:级数()收敛,而级数却发散.n1nn1n例

十、判断: ①若f(x)在点x0连续,则f(x)在x0连续;②若f(x)在点x0连续,则f(x)在x0可导;③若f(x)在点x0可积,则f(x)在x0可积;④若多元函数在某点连续且偏导数存在,则函数在该点可微.1,x0解 ①可以举出反例:设f(x),则f(x)在x00处连续,而

1,x0 f(x)在x00处不连续,所以错.②可以举出反例:函数f(x)x在x0处连续,但是它在x0不可导,1xsin,x0 同样,函数f(x),在x0连续,但是 x0,x0 不可导,所以错.③可以举出反例:Dirichlet函数

1,当x为有理数 D(x),此函数的绝对值是可积的0,当x为无理数

但是其本身并不可积,所以错.0,(x,y)0 ④可以举出反例:f(x,y)x2y,在(0,0)点连续且偏导数

x2y2,(x,y)0 存在,但是,在(0,0)点不可微,所以错.2z2z 定理 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区

yxxy域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.[7]

该定理是说,在连续的条件下二阶混合偏导数与求导的次序无关.更一般 地,在连续的条件下,多元函数的高阶混合偏导数与求导的次序无关.而如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点是连续.这时,自然会想到一个问题:这个定理的逆命题是否成立?即是否有如下命题:

2z2z命题 如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内

yxxy存在且相等,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数连续.分析 虽然易得一函数,使其两个二阶混合偏导数存在相等,并且连续(如

zexy),但是难得函数zf(x,y),使其两个二阶混合偏导数存在相等,却不连续.此时,可利用逆向思维的方式,先找到一个不连续的二元函数，如：xy22x2y2,xy0g(x,y), 0,x2y20这个分段函数在(0,0)点不连续.可以把g(x,y)作为zf(x,y)的二阶混合偏导数，在通过微分的逆运算积分计算出zf(x,y).再求zf(x,y)的偏导数时,是将一个变量看成常量,对另一个变量求导数,故我们可以通过先对x积分得 u(x,y)g(x,y)dxyln(x2y2)C1 2

再将x看成常量对y积分得

x2y2(x2y2)22 v(x,y)u(x,y)dyln(xy)C1yC2

44其中C1,C2为任意常数.当任意常数C1,C2取不同的值时,就会得到不同的函数,这样的函数会有无穷多个.考虑到求二阶混合偏导时,函数v(x,y)的后三项最终为0,所以不妨只取第一项,并补充定义其在(0,0)点的值为0,即有

(x2y2)ln(x2y2),x2y20, f(x,y) 40,x2y20.可以验证分段函数zf(x,y)在(0,0)点不连续,即命题不成立.所以,该定理为充分条件,而不是必要条件.（四）创新性数学品质

19世纪中叶,数学界长期认为对于一个区间上的任意连续函数,总认为存在可微点的直觉想象,但是1860年数学家魏尔斯特拉斯却极为精巧地构造了一可以被称为“数学中的艺术品”的反例:f(x)ancos(bnx),其中0a1,ab1,b为奇数.2n0这是一个在实数轴上点点连续点点不可微的函数,从而严格弄清楚了函数的连续性与可微性之间的关系,推翻了流行很长时间的谬误,可见反例在数学发展史中的重要地位.[8]反例就是逆向思维的一种表现形式,也就是说,逆向思维在数学发展史的崇高地位,这种发散性思维是创造性人才必备的一种思维品质.五、结束语

从以上的例子我们看到,在数学分析学习中,将逆向思维解题方法进行适当的归类和分类.如考虑间接方法,考虑递推,考虑研究逆否命题,逆向应用公式,考虑问题的不可能性,反证法,分析法,复杂化等,可以开辟新的解题途径,避开繁杂的计算,使问题简化而得以顺利解决.这对优化学生的思

维结构,培养他们的创新能力大有裨益.本文作者通过阅读大量有关逆向思维在数学分析中的作用文献,根据自己的学习、研究、理解、体会、分析,深刻体会到逆向思维是21世纪数学教学所提倡的思维模式.数学问题千变万化,解题方法灵活多样,虽然我们不可能归纳出题目的一切类型,更不可能找到解题的神方妙法,但是,人们在长期的解题实践中,总结了丰富的经验,寻找了一些更为科学、更为严谨的解题方法与技巧.逆向思维作为发散思维的一种,必将起到重要作用.我们应当自觉地运用逆向思维方法,创造更多的奇迹.本文简要的叙述,望为读者研究和学习数学分析中有关逆向思维问题提供一定的帮助.六、参考文献

1逆向思维（反向思维）【J】，华东科技 2008，（10）

2刘玉琏 傅沛仁 林玎 范德馨 刘宁 数学分析讲义.（第五版）高等教育出

版社

3朱红英 王金华 湘南学院学报.2012:第二期

4梁经珑 娄底师专学报.2003:第二期 5马建珍 宜宾学院学报.2006:第十二期

6裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 [M].北京:高等教育出版社，2009.631-635 7B.R.Gail Baum，J.M.H.Olmstead.In the analysis of the case [M].Shanghai;Shanghai Scientific and Technical Publishers,1980.4.2 8凌建 科技风:2009年10月（下）