青少年的数学方程式概念发展研究_小学数学方程的概念

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國科會報告_青少年一元一次方程式概念發展_吳寶桂

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

91年度數學教育研究成果精簡報告

青少年的數學概念學習研究—子計畫十一：

青少年的數學方程式概念發展研究

計畫編號：NSC 91-2522-S-110-001

執行期限：91年8月1日至92年7月31日

主持人：吳寶桂國立中山大學教育研究所

一、中文摘要

本研究以自編之「一元一次方程式虛擬情境測驗」來探討我國青少年(12歲到14歲，即國小六年級至國中二年級的學生)在一元一次方程式概念發展情形。以一對一個別晤談方式對全國北、中、南及東四區分層隨機抽樣所得20校共240位小

六、國一及國二學生施以「一元一次方程式虛擬情境測驗」。研究結果顯示，本測驗除可偵測我國青少年在一元一次方程式的相關概念發展外，還可用來診斷個別學生對一元一次方程式的認知程度及其錯誤概念類型。

關鍵詞：一元一次方程式、概念、一元一次方程式情境測驗、概念發展、錯誤概

念

二、英文摘要

The purpose of this study is to investigate the development of the conception and poible misconception of mathematical equations for our adolescents(aged 12 to 14, sixth grade to eighth grade).First, a ‘One-Variable Linear Equation Situational Test’ was constructed and the aociated validity and reliability data were analyzed.Then this test was administered to 240 adolescents selected by method of stratified random sampling.The results indicate that the ‘One-Variable Linear Equation Situational Test’ can be used to investigate the development of the conception of one variable linear equation.It can also be used to diagnose the poible misconception of one variable linear equation for our adolescents.6-1

Keywords: concept, equation, misconception, One-Variable Linear Equation

Situational Test, interview method, concept development, nationwide

investigation

三、緣由與目的各國研究數學教育的學者一致認為數學學習的本質是在對數學概念的瞭解(NCTM，1989)，但是根據過去數十年的研究結果顯示：學生在正式學習特定學科之前，並非如白板般一無所知，多少會依個人過去成長的經驗，而對該學科產生其獨特的信念。這種既存之「先有概念」多半與「專家公認架構」不甚符合，同時也存在一些錯誤的想法，又稱「迷思概念」。已有許多研究顯示，學生的「另有架構」會不斷左右個體思考，而所產生的概念迷思也會阻礙個體從事有意義的學習（Anderson & Smith,1986;Brown,1988;Duffiy & Jonaen,1991;陳瓊森，1998）。

外國學者Schwarzenberger(1984)認為分析學生錯誤的解答可促進瞭解學生的真正內在想法，進而明白學生形成概念迷思的原因，由此可知瞭解學生錯誤類型和瞭解他們的正確答案是一樣重要。

一般對數學概念的研究，是以紙筆測驗進行團體施測，藉以測試相關數學概念，進而整理歸納出錯誤型態。但根據研究顯示，紙筆式團體測驗，對概念階層發展的鑑別力要比個別式診斷為差，因此許多學者認為可採用晤談方式來探討學生概念的迷思或是錯誤概念類型(Osborne & Gilbert, 1982;陳建蒼，2000)。

一般常用的傳統式評量大都只能測得學生對知識片段的記憶，無法進一步得知學生在高層次思考及問題解決的能力。因此，若能以情境式問題代替傳統測驗，將更能在問題解決過程中窺得學生對相關概念理解及應用的程度。

本研究即是嘗試以一元一次方程式虛擬情境測驗對小學及國中生進行一對一晤談，以偵測學生在一元一次方程式相關概念上的發展、探討其可能產生之錯誤概念類型、並且針對學生對一元一次方程式的瞭解加以個別診斷。

四、研究方法及步驟

（一）樣本

本研究為全國性調查，將全國分為北、中、南及東共四區，以分層隨機抽樣方式選取所需樣本。以南部地區為例，在南部各縣市進行隨機抽樣，「台南」為

抽選結果。接著以分層隨機抽樣方式，在台南縣、市各選取一校，再在兩校中各隨機選取國一及國二各一班，最後依據前學期數學總成績及前一次段考成績，將每班學生分成高、中、低數學成就後，以隨機方式在每班高、中、低數學成就學生中選取男、女生各兩人參與本研究，因此每班有男生6人及女生6人共12人。

之後，在上述選取國中所在學區中，各隨機抽取一國小，並以同樣隨機選樣程序，在六年級中各抽取一班12位學生(男生6人，女生6人)。

因此，本研究在台南縣、市之小

六、國一及國二共有4校、6班、72人參與。其他北、中、東三區以如南區分層隨機抽樣方式選取學生。北區以「台北」為主，中區以「台中」為代表，而台東代表東區。

（二）工具

「一元一次方程式虛擬情境測驗」是由研究者自編、以一元一次方程式為核心內容、虛擬情節為故事主軸的情境式測驗。整份測驗包含一連串問題解決的情境，有關故事情節是環繞著地球人反抗前來入侵的卡薩伊族人的奮鬥過程來發展。總共有16個情境，31個題目，每個情境具一至五個小問題（問題群組），題目由簡單至複雜。情境11及情境14至16，因題目太難，大多數6年級及7年級學生均省略不做。此情境測驗係採用多重步驟編制，本測驗經一位具25年經驗之數學科任教師評鑑結果與研究者評鑑的一致性為0.70~1.00(平均值為0.91，標準差.09，中位數.93)。11位預試學生之前後測一致性(間距為3~4個月)介於0.42~1.00(平均值為0.93，標準差.16，中位數1.00)。由此顯示本測驗具良好信、效度。

（三）、施測

正式施測是以一對一晤談方式，施測者先將來意對受試者作簡單介紹後，便率先念讀第一頁序曲中前四行文字敘述，之後會邀請學生一齊念（以促使學生專心），若學生不明白，可再回頭閱讀，但晤談者不能誘導受試者任何正確答案。本研究除探索學生作業記憶(working memory)外，還在瞭解個案無法得到「正解」的原因，因此並沒有強迫受試者一定要一面解題一面口述解題歷程，直到受試者解題告一段落時才進行提詞或提問，以免干擾其解題思考。全程施測時間平均約為兩小時又二十分鐘。

五、研究結果

「一元一次方程式虛擬情境測驗」包含一連串開放式虛擬情境問題，目的在誘發學生對方程式有關的許多概念。綜合11位學生之預試結果、文獻探討及對教師訪談所蒐集的意見，歸納統整出學生在解「一元一次方程式情境問題」時所可能表現的概念如表一（略）。

由於本研究資料龐大，在此次研討會中儘先將針對南部地區57個樣本初步分析結果先行發表，其他三區將以同樣方式進行分析，分析完畢後將陸續發表。

南區樣本中包含由台南縣、市隨機抽取之4校中的小

六、國一及國二六班學生共72人。除去資料不全之個案，有效樣本共57人，其中六年級19人、七年級20人、八年級18人。根據表一的概念細目分類，摘錄學生在各情境所表現的概念於表二(略)，表中包含情境1(S1)九宮格、情境5-1至5-3(S5-1~S5-3)買香蕉題組、情境7-1至情境7-4(S7-1~S7-4)年齡問題題組，情境12(S12)住旅社、情境13(S13)買車票等有關概念。由表中初步統計分析發現，各情境問題所激發學生一元一次方程有關概念反應程度各有不同，例如與其他情境比較，在情境1、7-

1、7-

2、7-3及9-2中學生對未知數的反應以「潛藏表徵」形式遠多於「可填充式圖形」或「文字符號表徵」(見表三(略))。買香蕉的題組最能引發學生表現「文字符號表徵」概念。由學生在「發現題目已知數(C4)」、「了解題目已知數(C5)」、「發現題目未知數(C6)」等各項概念表現，及對題目的答對率，發現住旅社問題(S12)最難，此題描述一旅行團要住宿旅館，有一些旅館住宿規則限制要遵守，在一些條件下要求學生求算出旅館房間數及旅客人數。由於該題牽涉到兩個未知數，求解難度較高，只有一人答對（此學生屬台南縣國二高數學成就男生）。

各年級在各情境的表現可以表四（略）表示。由表四概念如「發現題目已知數」(C4)、「了解題目已知數」(C5)、「發現題目未知數」(C6)，及對題目「答對率」的統計分析，顯示住旅社問題(S12)對於各年級學生仍是較難的題目，且國小六年級學生對「已知數的瞭解」及「未知數的發現」比例較國中生為低。

另外，除了情境9-1沒有標準答案、S12題目太難學生無法解決、S13可用「嘗試-錯誤」方式(Try and error)解題、及S9-2可以直述式方式求解以致各年級的表現都很平均外，學生們在各情境都有隨著年級增加而有較佳表現的趨勢！

本測驗除了可以探究學生一元一次方程式概念發展趨勢外，還可作為診斷個別學生對一元一次方程式認知的工具，例如由表五（略）所列之個案(台南市國一數學高成就女生)的反應分析結果可知，作答迅速、有信心；會使用框框來表示未知數；對「年齡」尚未有恆等概念；已懂得倍數及分數，但實際運算操作時會產生錯誤；會列不等式；運算時會忽略未知數，只處理已知數部分，在較複雜問題時，對所有相關線索無法一次釐清。

六、參考書目

（一）、中文部分

林光賢、郭汾派、林福來（1989）。國中生文字符號概念的發展。國科會專題研

究報告：NSC-77-0111-S-004-001-A。

吳寶桂(2001)。青少年的數學方程式概念發展研究。國科會專題研究報告：

NSC-89-2511-S-110-002。

陳建蒼(1993)。高一學生對數函概念層次教學成效研究。國立高學師範大學數學

教育研究所碩士論文。

陳瓊森(1998)。從建構主義觀點談概念形成及概念轉變。國民中學學生概念學習

學術研討會。

謝孟珊（2000）。以不同符號表徵未知數對國二學生解方程式表現之探討。國立

台北師範數理教育研究所碩士論文。

（二）英文部分

Anderson, C.W., & Smith, E.C.(1986).Childrens’ conceptions of light and

color: understand the role of unseen rayo(Research Series No.166.)East Lansing;Michigan State University, Institute for Research on Teaching.(ERIC Document Reproduction Service No.ED2703817).Ashlock, R.B.(1990).Error pattern in computation: A semiprogrammed

approach(5th).Columbus, Ohio: Merrill.Brown, D.E.(1988).Students Concept of Force: The importance of

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