第十讲数列求和的方法与技巧_数列求和方法技巧

2020-02-27 其他范文下载本文

第十讲数列求和的方法与技巧由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数列求和方法技巧”。

学校教学的得力助手

考取状元的必由之路

……汪博教育 5398006

高三数学VIP讲义

第十三讲数列求和的方法与技巧

数列是高中数学的重要内容，在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.我们常用的数列求和方法有：公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、合并法求和、利用数列的通项求和。下面我们就通过一些典例来学习一下这些方法：

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：Snn(a1an)2na1n(n1)2d； SmnSmSnmnd2、等比数列求和公式：Snna1naanqa1(1q)11q1qnm(q1)(q1)；

SmnSnqSmSmqSn

n3、Snk1nk12nn(n1)

4、Snkk1216n(n1)(2n1)

5、Sn132k[n(n1)] 2k11log23[例1] 已知log3x，求xxxx的前n项和.23n解：由log3x1log23log3xlog32x12，由等比数列求和公式得

1212n1Snxxxx ＝23nx(1x)1xn＝2(11)＝1－

12n

*[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N,求f(n)Sn(n32)Sn1的最大值.12解：由等差数列求和公式得 Sn ∴ f(n)Sn(n32)Sn112nn(n1)，Sn1(n1)(n2)

＝

n34n642＝

1n3464n＝(n18n)502150

学校教学的得力助手

考取状元的必由之路

……汪博教育 5398006 ∴ 当 n8n0，即n＝8时，f(n)max150

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积。

设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn……………………….② ①－②得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn

1xn1n即(1x)Sn12x(2n1)xn11x(2n1)x

∴ Sn[例4] 求数列,242(2n1)x(1x)(1x)2n

22,623,,2n2n,前n项的和.12n解：由题可知，{设Sn 12222n24n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{

62433}的通项之积

Sn22226242n2n…………………………………①

2n2n1212222………………………………②

224 ①－②得(1)Sn22 ∴ Sn4

三、倒序相加法求和

2n22n122322n2n2n1212n12n2n1

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).012nn[例5] 求证：Cn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2

012n证明：设SnCn3Cn5Cn(2n1)Cn…………………………..①

把①式右边倒转过来得

学校教学的得力助手

考取状元的必由之路

……汪博教育 5398006 Sn(2n1)Cn(2n1)Cnnn13CnCn又由CnmCnnm可得

1n1n Sn(2n1)Cn0(2n1)Cn3CnCn…………..……..②

1n1nn ①+②得2Sn(2n2)(Cn0CnCnCn)2(n1)2

∴ Sn(n1)2n

[例6] 求sin21sin22sin23sin288sin289的值

解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289………….①

将①式右边反序得

Ssin289sin288sin23sin22sin21…………..②

又因为 sinxcos(90x),sin ①+②得：

2S(sin1cos1)(sin2222xcosx1

22cos2)(sin2289cos89)＝89

2∴ S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n项和：11,解：设Sn(11)(重新组合得：

Sn(11a1a21a4,1a21a27,,1an13n2，… 13n2)

1a4)(7)(an11n1当a＝1时，Snn11a(3n1)n2)(1473n2)

＝

(3n1)n21n

当a1时，Sn1na(3n1)n＝aa1a12(3n1)n2

a[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.32解：设akk(k1)(2k1)2k3kk

学校教学的得力助手

考取状元的必由之路

……汪博教育 5398006 nn3 ∴ Snk(k1)(2k1)＝(2kk1k13kk)

2重新组合得:

n3n2nSn＝2k3kk1k1k1k

＝2(1323n3)3(1222n2)(12n)n(n1)2222 ＝n(n1)(2n1)2n(n1)2

＝n(n1)(n2)2

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）anf(n1)f(n)（2）

sin1cosncos(n1)(2n)2tan(n1)tann

（3）an1n(n1)11n1n11（4）an1(2n1)(2n1)1122n1(112n1)

（5）ann(n1)(n2)n21n2n(n1)[1(n1)(n2)11n2n1]

(6)ann(n1)22(n1)nn(n1)2n1(n1)2n

[例9] 求数列112,123,,1nn1,的前n项和.解：设an1nn1112n1n

则 Sn1231nn1

＝(21)(3 ＝n11

2)(n1n)学校教学的得力助手

考取状元的必由之路

……汪博教育 5398006 [例10] 在数列{an}中，an前n项的和.解： ∵ an

∴ bn1n11n12n1nn1，又bn2anan1，求数列{bn}的2n1nn1n2

2nn122128(1n1n1)

∴ 数列{bn}的前n项和 Sn8[(1 ＝8(11cos0cos11cos0cos1)(1213)(8n1314)(1n1n1)]

1n1)＝

n1

1cos88cos891cos88cos89[例11] 求证：1cos1cos21cos1cos2cos12sin1

解：设S

sin1cosncos(n1)tan(n1)tann

1cos1cos2 ∴S ＝1sin11cos0cos11cos88cos89

{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]}

1sin1 ＝(tan89tan0)＝

1sin1cot1＝

cos12sin1

∴ 原等式成立

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ cosncos(180n)

∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0 [例13] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10 学校教学的得力助手

考取状元的必由之路

……汪博教育 5398006 的值.解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质 mnpqamanapaq 和对数的运算性质 logSn(loga1log3aMlogaNlogaMN 得

a5loga6)

33a10)(log3a2log33a9)(log333 ＝(loga1a10)(loga2a9)(loga5a6)

＝log39log39log39

＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.1之和.[例14] 求111111111n个11解：由于111k个1199999k个119(10k1)（找通项及特征）

1 ∴ 111111111n个1＝19(101)119(1021)19n(1031)19(10n1)（分组求和）

＝19(10101010)12319(1111)n个1110(101)n ＝91019n＝181(10n1109n)

[例15] 已知数列{an}：an8(n1)(n3),求(n1)(anan1)的值.n1解：∵(n1)(anan1)8(n1)[1(n1)(n3)11(n2)(n4)（找通项及特征）]

＝8[1(n2)(n4)(n3)(n4)]（设制分组）

学校教学的得力助手

考取状元的必由之路

……汪博教育 5398006 ＝4(1n211n41)8(1n31n31n41n4)（裂项）

∴ (n1)(anan1)4(n1n1n214n414)8(n1（分组、裂项求和）)

＝4(13)8＝

133

课后练习：

1、设等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，则下列结论中正确的是

A．Snnan3n(n1)C．Snnann(n1)

B．Snnan3n(n1)D．Snnann(n1)

2、数列1，x，x2，…，xn1，…的前n项之和是(A)x1x1n(B)

xn11x1(C)

xn21x1(D)以上均不正确

3、数列{an}前n项的和Sn=3n+b(b是常数)，若这个数列是等比数列，那么b为(A)3(B)0(C)-1(D)14、等比数列{an}中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋a3＋…＋an=2n－1，则 2222a1＋a2＋a3＋…+an等于(A)(21)(B)n213(21)(C)4n1(D)

n13(41)

n5、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(A)130(B)170(C)210(D)2606、求和：111121912721123,4181

31123n.7、数列1,2,33,的前n项和是.48、数列１＋3q+5q+7q+9q＝ _______.9、数列{an}满足a12，an1an2n，则通项公式an，前n项和Sn.10、123456992222222100＝________________________.211、在数列{an}中，已知a120，an1an4,则a1a2a3a20______.12、已知数列{an}是等差数列，且a12，a1a2a312，学校教学的得力助手

考取状元的必由之路

……汪博教育 5398006（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bnanxn(xR)，求数列{bn}前n项和Sn的公式.13、等比数列{an}的首项为ａ，公比为ｑ，Sn为其前ｎ项和，求S1+S2+S3+…＋Sｎ

6n5(n为奇数）

14、已知数列{an}的通项公式an，求数列{an}的前n项的和Sn.n2(n为偶数）

15、非等比数列{an}中，前n项和Sn(an1)2，41（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn1n(3an)(nN*)，Tnb1b2bn，是否存在最大的整数m，使得对任意m的n 均有Tn

1—

5、CACDC 32总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。

659q11qq12(q1)2nnn11nn126、7、8、9、2;2(1q)nn122325(q1)n(2n1)(x1)

10、-505011、480

12、(1)an2n(2)Sn2x(1xn)2nxn

1(x1)(1x)21x 学校教学的得力助手

考取状元的必由之路