“平面图形镶嵌”课题研究的设计_平面图形的镶教学设计

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“平面图形镶嵌”课题研究的设计

湖北省钟祥市罗集一中（431925）

“初中生探究性学习研究”课题组组长 熊志新

教材

义务教育课程标准实验教科书（人教版、华东师大版„„）数学·七年级·下册。

目标 经历对平面图形镶嵌问题的探究与解决（不一定能完全解决）的过程，加强对正多边形的有关概念、性质的理解； 了解数学知识在实际生活中的应用，培养学生应用数学解决实际问题的意识的能力；优化思维品质，培养学生发散性思维能力及由特殊到一般的归 纳能力；通过合作学习，培养学生团结协作的团队精神。重点

平面图形镶嵌在现实生活中的意义。难点

平面图形的镶嵌的原理。教学过程 1 课前准备

在上课前两天，我就布置给学生一个任务，用纸片做一些多边形、正多边形的图片，说是上课要用，学生们都不知道我葫芦里到底卖的什么药。但因为这个班每周都有一节数学研究学习课，同学们都很喜欢这种课，在这种课上，大家可以充分展开想象的翅膀，展现自己的才能。所以，各个学习小组的同学都相互合作，完成了我布置的任务。新课导入 “大家见过自己家里地上铺的地砖及大街上人行道上铺的地砖 吗？在这些地面上，相邻的地砖平整的贴合在一起，整个地面没有一点空隙。你能简单描述它的形状吗？”这是学非常熟悉的问题，同学们纷纷回答：“有的是正三角形、有的是正方形、有的是正六边形、有的是平行四边形„„”。分组动手实验

用事先剪好的正多边形纸片进行实验，学生迅速拼出了如图1所 示的图形。

图1 问题导入

“我们能否用其它正多边形来铺的地面呢？要求没有空隙。这就 是今天我们研究的平面图形镶嵌问题。比如用正五边形，大家看行吗？”

学生用事先剪好的正五边形纸片进行试验，马上发现不行。我又 问：“用正八边形行吗？”学生通过实践发现也不行（如图2）。

图2 “想一想，为什么用一种正多边形铺满地面时只有正三角形、正 方形和正六边形三种而没有其它正多边形呢？”

很快地，就有学生说：“因为要使平面完全镶嵌不留空隙，则正多边形的每个内角的度数必须能整除360，符合要求的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形三种。” 探究原理

正n边形的每个内角为(n2)180，要求m个正n边形各有一个内角

n拼于一点，恰好覆盖地面，这样有m(n2)180360，由此导出：

nm2n42(n2)(n2)，而m,n为整数，所以n只能为3，4，6。

结论：用一种正多边形铺满地面时，只有正三角形、正方形和正六边形三种（如图1）。而正五边形、正八边形都不能铺满地面。„„（如图2）探究创作镶嵌

“如果不是正多边形，而是一般的平面图形又如何呢？比如用任 意一种四边形能铺满地面吗？”学生用事先剪好的任意四边形，通过旋转、反射和平移很快就拼出了如图3所示的各种图形。

图3

探究发现：

（1）任意三角形都可以用以镶嵌成一个平面；（2）任意形状的四边形都能通过旋转、反射和平移来镶嵌成一个 平面；

（3）只有特定的凸五边形或凸六边形可以镶嵌成一个平面（如图4）；

（4）多于六边形的凸多边形不可能镶嵌成一个平面。

（图4）多媒体演示

在学生初步掌握的情况下，采用多媒体教学课件，将本课题研究的问题一一演示，让学生更加直观的感悟平面图形的镶嵌。拓展探究

“大家用两种边长相等的正多边形的纸片拼接在一起进行组合，情况又如何呢？”

同学们用两种边长相等的正多边形的纸片拼出了各种各样的图形。其中有的能完全镶嵌，例如用正六边形的正三角形；有的不能完全镶嵌，留下了一些空隙，例如用正六边形和正方形„„（如图5）。师生共同小结

（1）本节课通过对几个平面图形的镶嵌问题进行研究，加强了对正多边形的有关性质以及能镶嵌平面的原理的理解；

（2）通过对问题的探究解决，让学生参与了知识的发生过程，初步改变了学生的学习方式，培养了学生的实践能力和探究精神。课后实践探究

你能否设计出一个用边长相等的三种不同的正多边形的地砖铺地面的方案吗？把你设计的方案画成草图。

附参考图6。