哥德巴赫猜想_哥德巴赫猜想是什么

哥德巴赫猜想由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“哥德巴赫猜想是什么”。

虚代数学初探-破解哥德巴赫猜想

李长松

1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去，特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用。希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。其中第8个问题是素数分布问题，包对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数等问题。素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。

1742年，哥德巴赫提出以下两个猜想：

A：每一个不小于6的偶数都可以表为两个奇质数的和。

B：每一个不小于9的奇数都可以表为三个奇质数的和。

我们用O代表偶数，P代表奇数，Q代表奇素数，则(A)，（B）可以写成：

O=QA1+QA2 ???(A)

P=QB1+QB2+QB3? ?(B)

∵2n+1=2(n-1)+3

∴P=O+3=QA1+QA2+3=QB1+QB2+QB3

∴可以由A成立推导出B成立。

目前的最好结果是：

（1）1937年苏联数学家维诺格拉多夫(и.M.Bиногралов,1891-1983), 用他创造的“三角和”方法,证明了：每一个充分大的奇数都可以表为三个奇质数的和。即证明出（B）：P=QB1+QB2+QB3

（2）{a,b}表示命题：每一个充分大的偶数都可以表为一个不超过a个奇质数的乘积与一个不超过b个奇质数的乘积之和。即

O=P1+P2, 其中

a

P1=∏Qa=Qa1* Qa2* Qa3*„„*Qaa

i=

1b

P2=∏Qb=Qb1* Qb2* Qb3*„„*Qbb

i=1

如果可以证明{1，1}就可以证明猜想（A）

1920年，挪威的布朗证明了{9，9}

1924年，德国的拉特马赫证明了{7，7}

1932年，英国的埃斯特曼证明了{6，6}

1937年，意大利的蕾西先后证明了{5，7}{4，9} {3，15}{2，366}

1938年，苏联的布赫夕太勃证明了{5，5}

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了{4，4}

1948年，匈牙利的瑞尼证明了{1，c}其中c是一很大的自然数。

1950年，Selberg宣布用他的方法可以证明{2，3}，但是他没有发表，以下结果都是利用他的方法得到的。

1956年，中国的王元证明了{3，4}

1957年，中国的王元先后证明了 {3，3}{2，3}

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了{1，5}，中国的王元证明了{1，4}1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了{1，3}

(3)1966年，陈景润证明了：每一个充分大的偶数都可以表为一个奇质数与一个不超过两个奇质数的乘积之和。即{1，2}：O=P1+P2=Qa1+Qb1·Qb2

这就是著名的1+2陈氏定理：任何充分大的偶数都是一个奇质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个奇质数的乘积。由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1＋1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。研究哥德巴赫猜想目前公认的最好的办法是筛法，而陈景润的加权筛法已经把筛法应用到极至，但只能证明出{1，2}。仍然无法证明出{1，1}。

从1920年布朗证明“9＋9”到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年。自“陈氏定理”诞生至今的40多年里，人们对哥德巴赫猜想的进一步研究，均劳而无功。

布朗筛法的思路是这样的：即任一偶数(自然数)可以写为2n，这里n是一个自然数，2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和： 2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=„=n+n，在筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后，(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1，2,„;3j和(2n-3j)，j=2,3,„;等等)，如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去，例如记其中的一对为p1和p2，那么p1和p2都是素数，即得n=p1+p2，这样哥德巴赫猜想就被证明了。前一部分的叙述是很自然的想法。关键就是要证明'至少还有一对自然数未被筛去'。目前世界上谁都未能对这一部分加以证明。要能证明，这个猜想也就解决了。

然而，因大偶数n（不小于6）等于其对应的奇数数列（首为3，尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和，故根据该奇数之和以相关类型质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2 或 2+1 同属质数+合数类型），在参与无限次的“类别组合”时，所有可发生的种种有关联系即1+1或1+2完全一致的出现，1+1与1+2的交叉出现（不完全一致的出现），同2+1或2+2的“完全一致”，2+1与2+2的“不完全一致”等情况的排列组合所形成的各有关联系，就可导出的“类别组合”为1+1，1+1与1+2和2+2，1+1与1+2，1+2与2+2，1+1与2+2，1+2等六种方式。因为其中的1+2与2+2，1+2 两种“类别组合”方式不含1+1。所以1+1没有覆盖所有可形成的“类别组合”方式，即其存在是有交替的，至此，若可将1+2与2+2，以及1+2两种方式的存在排除，则1+1得证，反之，则1+1不成立得证。然而事实却是：1+2 与2+2，以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和，或一个素数与两个素数乘积的和），所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况）存在的基础根据。所以1+2与2+2，以及1+2（或至少有一种）“类别组合”方式是确定的，客观的，也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。这就彻底论证了布朗筛法不能证“1+1”。

??? 由于素数本身的分布呈现无序性的变化，素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系，偶数值增大时素数对值忽高忽低。能通过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗？不能！偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循。二百多年来，人们的努力证明了这一点，最后选择放弃，另找途径。于是出现了用别的方法来证明哥德巴赫猜想的人们，他们的努力，只使数学的某些领域得到进步，而对哥德巴赫猜想证明没有一点作用。

哥德巴赫猜想本质是一个偶数与其素数对关系，表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式，是不存在的。它可以从实践上证实，但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾。

个别如何等于一般呢？个别和一般在质上同一，量上对立。矛盾永远存在。哥德巴赫猜想是永远无法从理论上，逻辑上证明的数学结论。当然，利用计算机编程手段可以把任意人们能想到的大偶数写成{1，1}的形式，但是只能是举例，并不能从根本理论上解决掉这个问题。有许多数学家认为，要想证明“1＋1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。所以作者提出：

利用目前现有的数学理论和逻辑，是无法证明哥德巴赫猜想的。

那么可不可以利用一个新的理论和方法来研究哥德巴赫猜想呢？

现在我们来看一个来自几何学的例子：

欧几里得第五公设：当两条直线被第三条直线所截，如果有一侧的两个内角之和小于两直角（即180度），则将这两直线向该侧适当延长后必定相交，称为“平行公设”。下面来看图：

?

?

如图所示：直线BD和直线AC被直线AB所截，如果角DBA和角CAB之和小于两直角，即∠DBA+∠CAB＜180O。那么根据欧几里得第五公设，直线BD和直线AC向右侧延长后必定相交。

有意思的是，欧几里得本人对于这条公设并不满意，而且他无法给予证明。

假设两条直线是无限延伸的直线（而不是围绕地球一周的闭合曲线），并且假设这两条直线平行，如果这两条平行线被第三条直线所截的话，那么在这第三条线一侧的内角之和的情况也会在另外一侧同样成立，由于无法肯定这两条直线向两个方向延伸会不会相交，因此其假设不能成立。

公元5世纪，希腊数学家普罗叶克鲁斯对第五公设提出质疑：我们只能相信当截线一侧的内角之和小于二直角（即180度）时，两直线会无限接近，但不能肯定它们会相交，事实上存在一些曲线彼此接近而不相交，例如双曲线与它的渐近线。

所以有人提出了下列命题：在平面上两条不相交的直线，彼此相隔的距离是有限的（但是不一定平行！）。

当人们在第五公设的否命题上，试图从论证中得到矛盾的结论时，都把注意力集中在这样两个假设的否命题上：

1在一个平面内，通过直线外一点，可以作出不止一条直线和已知直线平行。2 在一个平面内，通过直线外一点所作的任何直线都一定和已知直线相交。

这两个命题使科学界感到不可思议，证明的结果更使得科学家们为之震惊，因为由这两个假设的否命题出发所进行的论证，其结论没有发生任何矛盾之处！

1792年，高斯提出这样两个问题：1，在欧几里得几何之外还存在着一个无逻辑矛盾的几何需要建立；2，在几何学中，“第五公设”不是公设。

从1799年开始，他认真地开始建立非欧几里得几何的工作，涉及数学，天文学，大地测量学。确信非欧几里得无逻辑矛盾，并将研究成果付诸应用。

他在测量了三个山头所组成的三角形内角之和后，坚信非欧几何能同欧几里得几何一样反应现实的空间。

俄国的罗巴契夫斯基在尝试证明第五公设时，发现了：

在平面内给定一条直线和直线外一点，过这个点可以作无限条直线不与给定直线相交。他写到：在数学里遵循两种方法：分析法和综合法。分析法就是将研究的问题在实际上加以分解，或用逻辑抽象法在意义上加以分解。综合法或者理论的方法，就是要求与我们

智慧的第一概念直接给出的那种概念。分析法的好处是总可以直接得到想要的假设。综合法不隶属于任何的一般法则，但是由于需要，必须从一般法则开始，目的是找出方程后，同时获得一切转化为数的科学特点。[罗巴契夫斯基；《几何学新原理与完整的平行线理论》]他正是这样在自觉地以唯物主义思想指导的研究工作中，建立起非欧几何的。

他的非欧几何从第五公设的否命题出发，采用了证明三角形内角之和不可能小于180度的基本方法，得出了“虚几何学”。

虚几何学的平行公设是：在已知平面内，给定一条直线L和直线外一点C，过这个C点，可以作无限条直线不与给定直线相交。

罗巴契夫斯基把过C点的全部直线分成3类：

1：同L相交的直线，也叫会聚线，如图中的CM，CN

2：L的两条平行线，如图中的CK，CH

3：同L不相交的直线，也叫分散线，如图中的CA，CB。

可以看到：在非欧几里得几何中，平行线不仅仅是不相交，而且还起着把会聚线和分散线相隔开的作用。他把平行线CH与垂线CD之间的夹角称作平行角记作π（P），即∠DCK=∠DCH=π（P），其中P是点C到直线L垂线的长，采用这样的符号表明平行角是P的函数。当π（P）=d（90度）时，那么∠KCE=0，这时除EF外，不存在其他同L不相交的直线，由此得出的几何就是欧几里得几何。

当π（P）＜d（90度）时，那么存在两条平行线，一条在垂线CD的一侧，还有一条在CD的另外一侧，由此得到的几何称为非欧几何。

非欧几何和欧几里得几何其实并不是互相对立的，之间的联系还是要多亏希尔伯特，他利用二次抽象：一种高级抽象，比欧几里得几何这样的一次抽象更抽象，将几何学公理化，从而将欧几里得几何和非欧几何联系在了一起。

非欧几何又称为希罗几何。非欧几何解决了平行公理的独立性问题；推动了一般公理体系的独立性，相容性，完备性问题的研究；促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展。

非欧几何证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动了科学，从而推动了社会的发展和进步。在数学内部，各分支纷纷建立了自己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在20世纪30年代建立自己的公理体系。实际上公理化的研究又孕育了元数学的产生和发展。

那么我们是不是可以借用非欧几何的方法来解决哥德巴赫猜想？

下面是我提出的哥德巴赫猜想的两个否命题：

（C）：每一个不小于6的奇数都可以表为两个奇素数的和。

（D）：每一个不小于9的偶数都可以表为三个奇素数的和。

用数学公式写出来就是

PC=QC1+QC2???（C）

OD=QD1+QD2+QD3?? ??（D）

利用逻辑推导来证明

OA=QA1+QA2??? ?（A）

PB=QB1+QB2=QB3?? ??（B）

证明：

∵PC=QC1+QC2

∴PC+1=QC1+QC2+1

用O1=PC+1，02=QC2+1替换，得

O1=QC1+O2 ∴O1-O2=QC1，利用O3代替O1-O2，得

O3=QC1

∵OD=QD1+QD2+QD3

∴OD=QD1-QC1+QD2+QC1+QD3，利用O4代替QD1-QC1，得

OD=O4+QD2+O3+QD3

∴OD-O4-O3=QD2+QD3，利用OA代替OD-O4-O3，得

OA=QD2+QD3?? 也就是证明了命题（A）

这样，我们就证明了一个充分大的偶数可以表示成两个奇素数的乘积之和，也就彻底证明了哥德巴赫猜想。

?

?

?

?