高考总复习《走向清华北大》精品36_高三总复习第36讲

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第三十六讲 直接证明与间接证明

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()

A．分析法

B．综合法

C．综合法、分析法综合使用

D．间接证明法

解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．

故选B.答案：B

xn·(x2n＋3)2．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝n＝1,2，„)，试证：“数列{xn}对任意的正整3xn＋1

数n，都满足xn>xn＋1，”当此题用反证法否定结论时应为()

A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1

B．存在正整数n，使xn≤xn＋1

C．存在正整数n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1

D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0

解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn>xn＋1”的否定为“存在正整数n，使xn≤xn＋1”，故选B.答案：B

3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()

A．2ab－1－a2b2≤0

a4＋b4B．a＋b－1－≤0 222

(a＋b)2－1－a2b2≤0 2

D．(a2－1)(b2－1)≥0

解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.答案：D

4．已知a、b是非零实数，且a>b，则下列不等式中成立的是()

ba

C．|a＋b|>|a－b|B．a2>b2 11abab

b－ab解析：⇔⇔a(a－b)>0.aa

∵a>b，∴a－b>0.而a可能大于0，也可能小于0，因此a(a－b)>0不一定成立，即A不一定成立；

a2>b2⇔(a－b)(a＋b)>0，∵a－b>0，只有当a＋b>0时，a2>b2才成立，故B不一定成立；

|a＋b|>|a－b|⇔(a＋b)2>(a－b)2⇔ab>0，而ab

11a－b⇔>0⇔(a－b)·a2b2>0.ababab∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正确．故选D.答案：D

1xa＋b，B＝fab)，5．(2009·杭州市模拟)已知函数f(x)＝，a，b∈(0，＋∞)，A＝f222abC＝fa＋b，则A、B、C的大小关系为()

A．A≤B≤C

C．B≤C≤AB．A≤C≤B D．C≤B≤A

a＋b1x2ab解析：因为当a，b∈(0，＋∞)时，ab≥f(x)＝2，在R上为减2a＋b

函数，所以A≤B≤C，故选A.答案：A

16．设0

A．a

C．cB．b D．不能确定

解析：易得1＋x>2x2x.∵(1＋x)(1－x)＝1－x20.1∴1＋x

答案：C

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．否定“任何三角形的外角都至少有两个钝角”其正确的反设应是________． 解析：本题为全称命题，其否定为特称命题．

答案：存在一个三角形，它的外角至多有一个钝角

8．已知a，b是不相等的正数，xab，ya＋b，则x，y的大小关系是________． 2(a＋b)(a＋b)2

2解析：y＝a＋b)＝a＋b＝＝x.2222

答案：x

199．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________． ab

19b9ab9a＝＋10≥16(＝解析：因为a＋b＝(a＋b)即b＝3a时取等号)，ababab

a＋b≥μ恒成立⇔μ≤(a＋b)min，所以μ≤16.又μ∈(0，＋∞)，故0

10．(原创题)如果a＋b>b＋a，则a、b应满足的条件是________． 解析：∵aa＋bb>ab＋a⇔(a－b)2(a＋b)>0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知a，b，c是不等正数，且abc＝1.111a＋b＋c＋＋.abc

证明：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，111111＋1bccaab111＝ab222abc∴a＋b＋c＝1bc1＋ca12．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求证： 1a＋21b＋2.2

b＋≤2.2

(ab≤4，22证明：要证 a＋211只要证：a＋b＋＋22

∵由已知知a＋b＝1，故只要证：(a＋)(b＋≤1，22

11只要证：(a＋)(b＋≤1，22

1只要证：ab 4

1∵a>0，b>0,1＝a＋b≥ab，∴ab≤，4

故原不等式成立．

13．(精选考题·浦东模拟)△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为三

内角A，B，C的对边．求证：113＝a＋bb＋ca＋b＋c

a＋b＋ca＋b＋c113ca解：要证明＝，只需证明3，只需证明a＋bb＋ca＋b＋ca＋bb＋ca＋bb＋c

＝1，只需证明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)·(b＋c)，只需证明c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴B＝60°，则余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，∴c2＋a2＝ac＋b2成立．故原命题成立，得证．