高中数学解题方法谈：浅谈分析法在解题中的应用_浅析高中数学解题方法

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浅谈分析法在解题中的应用

分析法是数学中常用到的一种直接证明的方法，从推理的程序上来讲，它是一种从未知到已知（从结论到题设）的逻辑推理方法，具体说，就是先假定问题的结论成立，再利用公理、定义、定理和公式，经过正确的、严谨的一步步地推理，最后得到一个显然成立的关系，即已证的命题或题设的已知条件，从而判定问题的结论成立。分析法的应用较广，通常在几何、三角、不等式的证明中经常采用。举例说明。

例1下面是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论。命题：若abc且abc0，则

解：此命题是真命题。

因为abc0,abc，a0,c0。baca23。

要证bac

a

223成立，只要证bac23a，22即证bac3a，也就是证(ac)ac3a，2即证(ac)(2ac)0

因为ac0,2ac(ac)aba0

所以(ac)(2ac)0成立。

故原不等式成立。

评注：应用分析法证题时，语气总是假定的，通常的语气有：“若要证明A，则先证明B；若要证明B，则先证明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，……”。值得注意的是，在证明过程中从一个命题推到下一个命题时，必须注意它们之间的等效性。

例2求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大。

证明：设圆正方形的周长为l，则圆的面积为（因此，本题只须证明：(l22)()。24l22)，正方形的面积为()。24ll

为了证明上式成立，只须证明：

4l2l422l216，两边同乘以正数，得1

14。

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因此，只须证明4。因为上式是成立的，所以(l22)()。24l

这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大。例3已知、k

2(kZ)，且

sincos2sin①

sincossin2② 1tan21tan

2求证：1tan2

2(1tan2。)

证明：因为(sincos)22sincos1,所以将①、②两式代入上式，得：4sin22sin21

1tan22

另一方面，要证

1tan21tan，2(1tan2)

sin2

1sin21

cos2cos2

即证

sin2，1sin2

cos22(1

cos2)

即证cos2sin21

2(cos2sin2)，即证12sin21

2(12sin2)，即证4sin22sin21，由于上式与③式相同，于是问题得证。

③

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