数列极限1_1数列的极限

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（一）迭代数列的极限

1.设x11，xn11xn(n2,3,)。证明limxn存在，并求其值。n1xn

2.设x10，xn111(xn)(n1,2,3,)。证明limxn存在，并求其值。n2xn

1A(xn)(n1,2,)。证明limxn存在，并求其值。n2xn一般情形：设A0，x10，xn1

3.设x10，xn13(1xn)(n1,2,)。证明limxn存在，并求其值。n3xn

A(1xn)(n1,2,)，其中A0。证明limxn存在，并求其值。nAxn

n一般情形：设x10，xn14.设x1

6，xn1

5.设x10，xn13n1,2,3,)。证明limxn存在，并求其值。4(n1,2,)。证明limxn存在，并求其值。nxn

n6.设数列xn满足1x1，xn1sinxn(n1,2,)。证明limxn存在，并求其值。

变式：求limsin[sin(sinx)]。n

（二）n项和式（乘积）的极限

n1111k2);1.（1）llim；(2）llim；（3）lim(n3nn154n1k112kk1(k1)!n

nn1(k1)32k

(4)lim;(已知lim, a1;e)(5)lim2knnn1k0k!k1(k1)!k!(k1)!k0an

(6)lim1111.);(提示: 22n2n12n12n2nk1

nnaak312)(a0).(7)limln3;(8)limnnnnn1k1k2

2.（1）llimcosn2cos

22cos2n2n；（2）llim(1a)(1a)(1a)，其中|a|1； n22n（3）llim(1a)(1a)(1a)，其中|a|1。n

3.设a11，a22，当n3时，anan1an2，证明：（a）an1an2an1；（b）lim

3210。nan

4.设

1a01,an

(提示:令a0cos

5.求极限limnn1,2,...)，求lim4n(1an)和lim(a1a2an).nn(0).)(1)k1nk11.3k2

(nN), 求a1a2an.nn6.设a00, 定义an11sin(an1)

7.设sin1xsinx0,sinnxsin(sinn1x)(n

2,3,...)，求极限limxnx.x3

o(x3)(x0).)(提示: 用Stolz定理, 并已知sinxx3!

8.设limn(anan1)0, 若极限limna1a2anA(有限), 则limanA.nnn

a1a2an的极限.)n(提示: 令bnanan1,则anb1b2bn,考虑an

19.设Sn2nlnC

k0nknk,其中为Cn组合数.求limSn.n

10.设m,b是常数且|b|1.又设x0m,xn1mbsinxn(nN), 证明{xn}有极限a, 且a

是满足方程xmbsinx的唯一解.(提示: 存在性用Cauchy准则.)

11.设limanan20, 证明nanan10.(提示: 现估计相邻两项差的大小,再用极限定义.)nn

12.设0xn1xn1(p1,nN).证明数列{xn}收敛.np

(提示:用极限定义验证确界原理保证的确界为其极限.)

13.设0xnmxnxm(n,mN).证明数列{xn}收敛.(提示同上题.)n

14.设xn1xn2yn,yn1xnyn(nN),x1y11,求nxn.yn(提示: 记an

xn1, 则|an1an||anan1|.)4yn