第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集_第1章函数极限与连续

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第十五章多元函数的极限与连续性

§1平面点集

limPnP0的充1．设Pnxn,yn是平面点列，P0x0,y0是平面上的点.证明n

要条件是limxnx0，且limyny0.nn

2． 设平面点列Pn收敛，证明Pn有界.3． 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点：

(1)E

(2)E

(3)E

(4)E

(5)Ex,y|yx； 2x,y|x2y21； x,y|xy0； x,y|xy0； x,y|0y2,2yx2y2；



1,x0； x(6)Ex,y|ysin

(7)E

(8)Ex,y|x2y21或y0,0x1； x,y|x,y均为整数.4．设F是闭集，G是开集，证明FG是闭集，GF是开集.5．证明开集的余集是闭集.E的聚点的充要条件是E中存在点列P6．设E是平面点集.证明P0是n，满足

P,2,且limPnP0.nP0n1n

7．用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理.8．用致密性定理证明柯西收敛原理.9．设E是平面点集，如果集合E的任一覆盖都有有限子覆盖，则称E是紧集.证明紧集是有界闭集.10．设E是平面上的有界闭集，dE是E的直径，即

dEsuprP',P''.P',P''E

求证：存在 P1,P2E，使得rP1,P2dE.11．仿照平面点集，叙述n维欧氏空间中点集的有关概念(如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等).12．叙述并证明三维空间的波尔察诺－魏尔斯特拉斯致密性定理.§2多元函数的极限与连续性

1．叙述下列定义：

(1)limfx,y； xx0yy0

(2)limfx,yA； xy

xay(3)limfx,yA；

(4)limfx,y.xay

2．求下列极限（包括非正常极限）：

x2y2

(1)lim； x0xyy0

(2)limx0y0sinx3y3xy22；

(3)

limx0y022；

(4)limxysinx0y01； 22xy

2(5)limxylnxyx0y0222；

exey

(6)lim； x0cosxsinyy0

(7)limx0y0xy； x4y2232

sinxy(8)lim； x0xy2

(9)

x1y0lnxey

(10)lim1； x12xyy2

(11)limxy1； x0x4y4

y0

1x2y2

(12)lim； 22x0xyy0

(13)limxyxy22e

x2xy；

(14)limxxy.22xyy

3．讨论下列函数在0,0点的全面极限和两个累次极限：

x2

(1)fx,y2； xy2

(2)fx,yxysin11sin； xy

exey

(3)fx,y； sinxy(4)fx,yx2y2

xyxy222；

x3y3

(5)fx,y2； xy

x2y2

(6)fx,y3； 3xy

(7)fx,yx43x2y22xy3

x

x22y4322；(8)fx,yx4y4

y.4．叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.5．叙述并证明limfx,y存在的柯西收敛准则.xx0yy0

6．试作出函数fx,y，使当x,yx0,y0时，(1)全面极限和两个累次极限都不存在；

(2)全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等；

(3)全面极限和两个累次极限都存在.7．讨论下列函数的连续范围：

(1)f

x,y

(2)fx,y1； sinxsiny

(3)fx,yxy；

(4)fx,yxy； x3y3

sinxy,y0,(5)fx,y y0,y0;

sinxyx2y20,(6)fx,y



220,xy0;

(7)fx,y0,x为无理数；

y,x为有理数

22222ylnxy,xy0,(8)fx,y 220,xy0;

x22,xy0,22p(9)fx,yxy(p0).220,xy0,8．若fx,y在某区域G内对变量x连续，对变量y满足利普希茨条件，即对任意 x,y'G和x,y''G，有 fx,y'fx,y''Ly'y''，其中L为常数，求证fx,y在G内连续.9．证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理.10．设二元函数fx,y在全平面上连续，2lim2

(1)fx,y在全平面有界；

(2)fx,y在全平面一致连续.11．证明：若fx,y分别对每一变量x和y是连续的，并且对其中的一个是单调的，则fx,y是二元连续函数.12．证明：若E是有界闭域，fx,y是E上的连续函数，则fE是闭区间.xyfx,yA，求证：