大连理工数学分析试题及解答_大连理工大学数学分析

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2012年大连理工大学硕士生入学考试试题——数学分析

一、从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分 1.证明：f(x)

11.计算曲面积分I



S

x3dydzy3dzdxz3dxdy，S为

于区间(0,1)（其中001）一致x

连续，但是于(0,1)内不一致连续 2.证

明

：

若

x2y2z2

椭球面2221的外侧。

abc

．

设

f(于x)单调[a,b，则

n(x



1)

nC

f(于x)内[a,b可积]R iemann，对于任意的c>0，n(x)在[1,c][c,1]一致收敛于0。证明：对于任意g(x)C[1,1]：

0,x为无理数



3.证明：Dirichlet函数：f(x)1在所p

q,xq(有理数)

有无理点连续，在有理点间断，limg(x)n(x)g(0)

n

13．证明：一个严格递增函数的间断点只能是第一类间断点

4.证明：若f(x)C(a,b),，（指(a,b)上的连续函数）

证明：首先，证明左右极限都存在。不妨先证明

左极限存在。如果不存在，函数有界，那么存在且任意(,)(a,b)，f(x)dx0，那么f(x)0，两个不同的子列，收敛于不同极限A

可以找到x1

x(a,b)

A,和递增矛盾。同理，右极限也存在5.证明：然后证明，左极限不等于右极限，否则，根

据严格递增不难得到函数在该点是连续的，又和

nenx于(不一致收敛，但是对于0,于一致收敛)0题目矛盾 n1

从而命题成立

14．



14

xsin,x0

6.证明：f(x)，在x=0处有连续的二x

0,x0

阶导数

7.利用重积分计算三个半长轴分别为a,b,c的椭球体的体积

解：三种方法： 8.计算第二类曲面积分：中

f(x,y)于(,)[a,b)连续，I(y)f(x,y)dx





于y[a,b)收敛，但是





，证明，f(x,b)d发散x

I(y)于y[a,b非一致收敛)





xdydzydzdxzdxdy，其

是三角形（x,y,z0,xyz1），法方向按与x,y,z轴成锐角为正

。解：（Gau定理）

一、从9-14题中选4题解答

9．假设

limana,证明：lim

n

a12a2...nana



nn22

证明：Stolz公式利用定义也可以做的10．计算积分：I

xdyydx

x2y2，其中，Γ为包含原点的一条分段光滑闭曲线，取正方向。证明：利用Green公式，不过要注意去掉中间那个极点