第二讲 极限的定义与基本性质_14极限的基本性质

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第二讲 极限的定义与基本性质

一、数列极限及其性质

1．数列极限的定义：

xn收敛于a0，NN，s.t.xna,nN。

值得注意的是：1）N依赖于，但不唯一，而事先给定；

2）不等式xna中的可以用K来代替，其中K0不依赖于N,；

3）N可以通过xna得到，需要解不等式或作适当的放大。

例1 证明：a0，an

n!

n0。

分析：直接求解不等式

时 an!用放大法。记m[a]，则当nm0是不现实的。

n!12m(

从而 1)nm(1n)m(nm，1)

am(m1)，n!m1

注意到a[a]1m1，因此0

即可。

证明：0，不妨设1。记m[a]，取Nannm(m1)从而只要解1，m1m1aanmln(m1)ln，则当

ln(m1)lna

nN时有

am0(m1)，n!m1

因此由极限定义得annan

n!0。

□

2．用定义证明极限存在的方法

1）放大法：如前。

2）分步法与拟合法

例2 设xna，证明x1xn

na。

分析：若把xn中每项看成a，则

x1xn

n的值恰为a，因此

n

x1xn

n

a

1n

n

(x

i

1i

a)

n

i1

xia。

其余要借助假设xna来证明。给定0，N，当nN时xna，因此不能控制的项为x1a,x2a,,xNa。但好在这种项只有N项，从而可以调整n来控制它们。

证明：0，由xna，N1，当nN1时xna/2，从而

x1xn

nnN1

n

a1

N1

1n

n

(x

i1

i

a)

n

n

i1N1i1

xia

/2

n

i1

xia/2

n

xia。

又收敛数列有界，不妨设xnM,n，则

N1

n

i1

xia

N1n

Ma。

N1

12N1

(M|a|)，则当nN2时令N2n



i1

xia

。

最后，令Nmax{N1,N2}，则当nN时有

x1xn

n

a。因此由极

限定义知

x1xn

n

a。

□ 我们看到，这里我们先利用了极限的定义，然后再利用极限的性质（有界性）来完成证

明。

例3 证明：若pk0(k1,2,)且lim

pn

p1p2pn

n

0，limxna。

n

证明lim

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pn

n

a。

分析：把xn中每项看成a，则极限号后面的式子的值恰为a，因此

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pn

pk

a

p1xnap2xn1apnx1a

p1p2pn。

然后我们在试图用分步的方法来估计。记qk注意到qk

(k)

(n)



p1p2pn，k1,2,,n，0，因此若nk，则当k时n，从而

(n)k

0q因而qk再由qk

(n)



pk

p1p2pn

n

qk

(k)

0，0，k。0，由limxna，N1，当nN1时xna。

(n)

0，k，N2，当nkN2时0qk

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pnq

(n)

k

N

2(n)

。于是

n

a

q

k1

(n)k

xnk1a

n

nN1





k1

xnk1a



knN11

q

(n)k

xnk1a



kN21

qk

(n)

xnk1a

我们看到，只有中间的项得不到控制。为此我们设法使得中间项不存在，即要求

N2nN11。为此，只需要nN1N21即可。因此我们取NN1N21。

Ex1: 请完成上面的证明。

注意在上面的例题中，我们都利用xn的极限来拟合数列的项从而简化问题。这种方法称为“拟合法”，它经常与分步法同时应用。这个方法在很多类型的题目中都会用到，今后在出现相关例子时我们再作说明。

我们看到，如果在例3中取pk1，则得到例2。一个更一般的题目如下： 例4 设xna,ynb(n)，则lim

n

k

n

xn

k1

ynk1ablim

n

k

n

xn

k1

yk。

Ex2：证明例4。

n

例5 设x0时f(x)x。xn

n



i1

2i1fa，a0，证明xna。2naa。于是

证明：用x拟合f(x)，则xn

n



i1

2i1n

xna



i1n

2i12i1aa 22f

nn2i12i1

faa。22

nn





i1

由假设，0，0，当0x时有f(x)xx。取N则当nN时，对1in有0从而

n

2a

，

2i1n

a

2n

a，xna



i1

2i12i1faa 22

nn

n





i1

(2i1)an

a。

因此由极限的定义有xna。

□

例6 设ana，证明lim

aaCaCana。1n2nn02

n

提示：利用1

n

n

C

k0

k

n

以及lim

n

Cn2

n

k

0(k1,2,,n)。

二、极限的基本性质与应用

1．极限的性质

1）收敛数列（函数）的（局部）有界性

2）保号、保序性

2．极限的四则运算：条件—在极限存在且四则运算有意义。

例7若xna0，证明存在自然数N，当nN时证明：取

a2

a2

xn

a。

0，由xna，存在自然数N，当nN时有

a2

a2xn

32a。

xna

□