华约数学试题及分析_华约数学试题

华约数学试题及分析由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“华约数学试题”。

2013华约自主招生考试数学试题及答案分析

1、已知集合AxZx10，B是A的子集，且B中元素满足下列条件 ①数字两两不等②任意两个数字之和不等于9

⑴B中有多少个两位数，多少个三位数

⑵B中是否有五位数？是否有六位数？

将B中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？

【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。先想如何确定一个元素，合理的方法应该是从高位开始依次按照要求选择各个数位上的数字，理解到这里之后就是简单地排列组合计算了。

【参考答案】

解：

①对于两位数而言，当一位数m确定以后，根据题意，另一位数只有除9-m和m 以外8个可能选择的数字，那么B中包含的两位数个数是9872个。记一个三位数为abc，其中a有9种选择，依次b有8种，c有6种，所以三位数的个数为986432个

②依照上面的规律，四位数个数为98641728个，五位数个数为986423456个，当是六位数的时候，前面的五个数字确定后，第六个数字将不存在，所以没有六位数。证明可以用抽屉原理解决，非常简单。

③两位数和三位数共有504个，故第1081个数是四位数，设为abcd。我们只需找出四位数中的第1081-504=577个数字就是所要求的数字。

当a1时，bcd有864192种组合，依次类推，a2有192个数字，故a1,2,3时 共有1923576个数字，故第577个数字也就是整体第1081个数字就是4012.2、已知sinx+siny =，cosxcosy =，求sin(xy)，cos(xy)

【试题分析】很简单的三角函数计算题，需要熟练掌握三角函数的合角公式和差角公式，对整体的数学思维也有一定的要求，因为三角函数的计算往往无法避免多值问题，如果能对已知的等式进行整体的运算那么就会避免非常复杂的讨论，直接得到希望的结果。

【参考答案】

解： 131

511①，cosxcosy = 35

11②得到1+2sinxsiny =，12cosxcosy=，925由sinx+siny =

∴cos(xy)cosxcosysinxsiny=

1248208



2259225

而sin(xy)cos(xy)

208

1sin(xy)(sin2xsin2y)225

211

①②得(sin2xsin2y)sin(xy)

215

sin(xy)

173、k0，从直线ykx和ykx上分别选取点A(xA,yA),B(xB,yB)，xAxB0OAOB1k2，O为坐标原点，AB中点M的轨迹为C

⑴求C的轨迹方程

⑵抛物线x2py（p＞0）与C相切与两点，求证两点在两条定直线上，并求出两条切线方程 【试题分析】

一道考察轨迹计算以及直线和圆锥曲线相切的解析几何问题，难度不大，思路也很清晰，是典型的解析几何问题，按部就班就可以解决问题。【参考答案】

解：①设

A(x1,kx1),B(x2,kx2),C(x,y)，则有

OAOB(1k2)x1x21k2①

1k

(x1x2),y(x1x2)2

2yy

反解得到x1x,x2x

kk

又x

y2

代入①整理得C的轨迹方程：x21②

k

②联立②式和抛物线方程x2py得到y2pkyk0③ 由于相切，故4pk4k0

2222

p2k21，代入③得y22kyk20，yk

再代入抛物线方程就可得到x

x程：

可以解得切点坐标（k)，切线斜率为，p

ykx

p1

故切线方程为y

ppyk(xp

4、有7个红球8个黑球，从中任取四个 ⑴求恰有一个红球的概率

⑵设四个球中黑球个数为X，求X的分布列及数学期望Ex ⑶当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率 【试题分析】

前两问都是非常普通非常简单地概率计算问题，难度很小，亮点在于第三问，因为这个涉及到概率统计里面的条件概率公式，就是已知结果的一种概率计算，需要比较高的数学素养。此题要明白四个球同色只有两种可能，那就是全黑或者全红，所以只要算出两种情况的概率比就能确定总的概率。【参考答案】

7C8356

解：①P(只有一个红球)=4

C15195x0

②

1839

2286

5356195

39

P

139

③P(红)：P(黑)=1:

2P(黑)=

235、已知an1ancan，n=1，2…，a10，c＞0

⑴证明对任意的M＞0，存在正整数N，使得对于nN，anM ⑵bn，sn为bn前n项和，证明sn有界，且d0时，存在正整数k，nk时，can1

1d ca1

0sn

【试题分析】

这道题的难度比较大，首先读懂题目是关键。复杂的叙述其实只说了一件事，那就是第一问要我们证明极限不存在，第二问要我们证明极限是零，说法都是等价的，直接使用函数极限的思想就可以轻松的证明这个问题，如果按照题目的叙述而按部就班的证明，那就将会让你感到非常吃力。此外第二问需要稍微变形一下才行，将表达式转化为两个分式相减的形式，这里需要非常强的联想能力以及数学直觉，非常考察学生的数学综合实力。【参考答案】

解：①易知an单调递增。另外由于点(an,an1)都在曲线f(x)xcx上，故an无上限，

即对任意M0，总存在NZ使得对nN时，anM，证毕.②注意到can1

ancaa111nn1， an1an1ancan1cancan1

sn

1110，由①知liman，lim

nnca1can1can111

0，即，即sn有界，且limsn

ncacan1

sn

d0时，存在kZ，nk时，0sn

证毕.d，ca16、x，y，z是两两不等且大于1的正整数，求所有满足xyz(xy1)(yz1)(xz1)的x,y,z.【试题分析】

乍一看会被吓住的一道题，因为我们的高考生大都不精通数论的知识，但实际上这道题是纸老虎，所用的数论知识非常的简单，也非常少，其实更多的是用不等式的思想来讨论解决这道题。另外由于完全的对称性，我们不妨给三个未知数排序，这也是简化问题的必要的数学思想。总体说来这道题不难，但是对数学思想的应用以及知识的灵活应用要求很高，并不容易解决。【参考答案】 解：由于

(xy1)(yz1)(xz1)x2y2z2x2yzxy2zxyz2xyyzxz

1xyz(xy1)(yz1)(xz1)xyz(xyyzxz1)

不失一般性，不妨设xyz，则有

xyzxyyzxz13xyz

3z1,2。z1时，有xyxyyx1xyxy1

xyxy12xy2，因此y1与yz矛盾，故z2.此时有

2xyxy2y2x1，2xyxy2y2x1xy4xy4，而y2，y3.此时6x5x5，有6x5x5，即x5，所以x4,5，经检验，x5符合题意。由于对称性，故符合题意的正整数组有

(2,3,5),(2,5,3),(3,2,5),(3,5,2),(5,2,3),(5,3,2)。

7、函数f(x)(1x)e1 ⑴证明当x＞0时，f(x)0 ⑵令xne

xn1

x

exn1，x11，证明数列xn递减且xn

12n

【试题分析】

中规中矩的函数数列不等式的综合证明题，第一问很简单，不再赘述，第二问需要利用第一问的结论，简单变形就能得到递减的结论，后面的证明可以简单地想到使用归纳法，但事实上需要我们利用归纳的条件先放缩一步，再使用归纳法证明一个更强的结论，这就对数学的素养以及对题目条件的灵活应用了。这一问的证明比较难想到，具有很强的区分度，尤其是在考场环境下就显得更加困难，也是本套试题的制高点所在。【参考答案】

解：①求导f(x)xe，x0时有f(x)0，又f(0)0，x0时f(x)是减函数，f(x)0.②由①中结论得到e

xn1

'x'

exn1xexnexn，故得到xn1xn，xnx

数列xn递减。

exn1xn)，对于不等关系的证明，我们不妨证明一个更强的结论：ln(xn2ex1x

可以更加一般的证明：ln()（x>0）

x2e1xe，令t

x

x

x2tt，则e12te，两边求导得到 2

et1t（t>0）显然成立，又e010，exn1xn)成立。以下利用归纳法证明原不等式： e12te在t>0时成立，即ln(xn2

2t

t

exn1xn11)n1，如果xnn成立，那么由递推关系有，xn1ln(xn222

证毕.