北京大学2002年（优秀）_北京大学学习优秀奖

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北京大学数学分析20021、（10分）求极限

lim(x0sinxx1)1cosx

2xn,n1,2,,证明极限limxn存在并求极限n

2、设a0,x12a,xn1.3、（10分）设f(x)在[a,a+2]上连续，证明存在x[a,a],使得f(x+)-f(x)=1

2(f(a2)f(a))。

4、（10分）设f(x)xx2arcsinx求f(x).u

x225、（10分）设u(x,y)有二阶连续偏导数，证明u满足偏微分方程2uxy2u

y220

当且仅当：存在二阶连续可微函数(t),(t),，使得 u(x,y)x(xy)y(xy)

6、（10分）计算三重积分

x2xydxdydz, 22

其中是曲面zxy与zxy围成的有界区域。22227、（10分）计算第二型曲面积分

Ixdydzydzdxzdxdy,222222其中是球面xyzaz,(a0)的外侧。



8、（10分）判断级数lncos

n11n的收敛性并给出证明。



9、（10分）证明：（1）函数项级数nxnx在区间(0,)上不一直收敛；（2）函数项级数

n1



nx

n1nx在区间(0,)上可逐项求导。

x10、（10分）设f(x)连续，g(x)0yf(xy)dy。g(x)。