含有定积分的不等式的几种典型证法_几种求定积分的方法

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含有定积分的不等式的几种典型证法

徐娟娟

（天水师范学院数学系 甘肃 天水 741000）

摘要:本文阐述并总结了定积分不等式的几种证明方法.关键词:定积分;拉格朗日公式;莱布尼茨公式;泰勒公式.0引言

高等数学中定积分不等式的证明,难度比较大,涉及的知识面广,技巧性比较强,但又十分的重要.因而它是学习高等数学的重点和难点.本文结合例题总结了定积分不等式证明的几种方法,加深对定积分不等式证明的理解.1利用定积分的性质及其换元法

例题1.1 设函数在区间上连续且单调递减,证明：当时,.证明当或时,不等式显然成立.令， 则.又因为,当时，由题设可知,根据定积分性质可得,即.原题得证.利用定积分的定义,把代换成,再取极限.已知被积函数仅具有连续的条件.例题2已知在上连续,对任意的都有.证明:.证明因为所以构造辅助函数法

当已知被积函数连续,并未告知可导时,此法比较简单.证明思路: 1）将积分上限（或下限）换成,式中相应字母亦换成, 移项使一端为,另一端作为辅助函数.2）由单调性得证.例题设函数在区间上连续且单调递减,证明:当时,.证明: 构造辅助函数

则有.因为,所以,又单调递减,所以.于是.即单调递增,故,即.原题得证.例题设在上连续且严格增,证明.因为

又在连续,故在上严格递减,而,故即

().3拉格朗日公式法

该方法一般适用于被积函数一阶可导且或的情形.思路1）用;

2）用定积分的性质对不等式适当放缩.例题设在上有一阶连续导数,且,证明