浙江财经数学分析(3)期末练习题五_数学分析3期末练习题

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10统计专业和数学专业数学分析（3）期末练习题五 1.证明极限

(x,y)(0,0)

lim

xyxy

不存在。

xyxy

2.用极限定义证明： lim

(x,y)(0,0)

0.3.证明极限

(x,y)(0,0)

lim

xy

xy(xy)

不存在.4.设F(x,y)f(x),f(x)在 x0连续，证明：对y0R,F(x,y)在(x0,y0)连续.5.证明：如果f(x,y)在 P0(x0,y0)连续，且f(x0,y0)0，则对任意

rf(x0,y0),(P0;),对一切P(x,y)(P0;),有f(x,y)r.2

6.证明：f(x,y)7.证明；

xy在点(0,0)处连续且偏导数不存在.122

ysinxy022

xyf(x,y)

220xy0

在(0,0)点连续，且fx(0,0)0,fy(0,0)0不存在.8.证明

22(xy)sin

f(x,y)



0

在 点(0,0)处连续且偏导数存在.xy0xy0

9.设 函数f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在偏导数，若(x,y)属于该邻域，则存在x01(xx0)和 y02(yy0)，011,021, 使得

f(x,y)f(x0,y0)fx(,y)(xx0)fy(x0,)(yy0)。

10.证明：

f(x,y)

xy0xy0,2

在点(0,0)不可微.11.证明: 对任意常数,, 球面xyz与锥面xytanz是正交的.12.证明: 以为参数的曲线族

x

a



y

b

1(ab)

是相互正交的(当相交时).13.证明: 由方程zyx(z)所确定的隐函数zz(x,y)满足

zx



2z

(z), yy

其中二阶可导.14.设F(a)





ln12acosxa

dx, 证明

0, 若a1且a0,F(a)2

lna,若a1.

15.证明含参量反常积分





sinxyy

dy

在,上一致收敛其中＞0，但在0,+内不一致收敛。16.证明含参量a的反常积分



0

e

ax

cosxx

p

dx,a0,p0为常数

是一致收敛的.17.证明含参量p的反常积分



是一致收敛的.0

sinx1x

2p

dx,p0

18.若f(x)在(0,)内可积, 证明

lim

a0



0

e

ax

f(x)dx

0

f(x)dx.19.证明(2xcosyycosx)dx(2ysinxxsiny)dy在整个XY平面上是某个函数 的全微分, 并找出这样一个原函数.20.设一力场为 F (3xy8xy)i +(x8xy12ye)j.证明质点在此力场内移 动时, 场力所作的功与路径无关.2222

ydxzdyxdzaxyza21.证明, 其中L是球面 与平面 

y

L

xyz0的交线(它是圆周), 从X轴的正向看去, 此圆周呈逆时针方向.22

22.证明3zdx5xdy2ydz2, 其中L是圆柱面xy1与平面 zy3的交

L

线(它是椭圆), 从X轴的正向看去, 此椭圆周呈逆时针方向.23.证明(yz)dx(zx)dy(xy)dz=2a(ha),其中L是圆柱面

L

xy

a与平面

xa



zh

1(a0 ,h0)的交线(它是椭圆), 从X轴的正向看去 ,此椭圆周呈逆时针方向.24.证明：若f(x,y)为有界闭区域D上的非负连续函数，且在D上不恒为零，则



D

f(x,y)d0.25.证明二重积分



D

f(xy)dxdy=ln21f(x)dx，其中D{(x,y)|1

yx

4,1xy2}.26.设fx是a,b上的正值连续,DD0xa,0ya,则

fy

D

fx

ba.27.设fx,y在ya,xb,yxab所围区域D上连续,则



b a

dx

x a

fx,ydy



b a

dy

b y

fx,ydx.28.证明

xyzdxdydz

V

25

R,其中V由z2x2y2，xyzR

2222

z0所围成的有界闭区域.29.证明(xyz)dSa,其中是左半球面x2y2z2a2,y0。



30.证明(xy)dS=





(21),其中是区域 {(x,y,z)|xy

z1 }的边界.31.证明(xyyzzx)dS



a,是锥面z

xy

被柱面

xy

2ax所截部分.32.证明(xy)dydz(yz)dzdx(zx)dxdy24h, 其中是中心在原点 , 边



长为2h的立方体 [ h , h ][ h , h ][ h , h ]的边界.23

33.证明yzdzdx=



abc, 其中是椭球面

xa



yb



zc

1的上半部分 , 积分沿

外侧.