初中数学竞赛辅导资料 动态几何的定值_初中数学竞赛几何篇

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初中数学竞赛辅导资料 动态几何的定值

甲内容提要

1.动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系.用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类.例如：

① 梯形的中位线，当梯形的上底逐渐变小，直到长度为零时，则为三角形的中位线； ② 两圆相交，两个公共点关于连心线对称，所以连心线垂直平分公共弦，当两个交点

距离逐渐变小，直到两点重合时，则两圆相切，这时切点在连心线上；

③ 相交弦定理由于交点位置、个数的变化，而演变为割线定理，切割线定理，切线长

定理等等.2.动态几何的轨迹、极值和定值.几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变

化而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而有的量却始终保持不变，这就是定值问题.例如：

半径等于RA的圆A与半径为RB(RB>RA)的定圆B内切.那么：

动点A有规律地变化，形成了一条轨迹：以B为圆心，以RB－RA的长为半径的圆.而A，B两点的距离，却始终保持不变：AB=RB－RA.若另有一个半径为RC的圆 C与圆B外切，则A，C两点的距离变化有一定的范围：RB+RC－(RB－RA)≤AC≤RB+RC+(RB－RA).即RC+RA≤AC≤2RB+RC－RA.所以AC有最大值：2RB+RC－RA ； 且有最小值：RC+RA.3.解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：

第一种是分两步完成 ：

① 先探求定值.它要用题中固有的几何量表示.② 再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.乙例题

例1.已知：△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任一点，过点P作BC的垂线分别交AB，AC或延长线于E，F.求证：PE＋PF有定值.分析：（探求定值）用特位定值法.① 把点P放在BC中点上.这时过点P的垂线与AB，AC的交点都是点A，PE＋PF＝2PA，从而可确定定值是底上的高的2倍.因此原题可转化： 求证：PA＋PB＝2AD（AD为底边上的高）.证明：∵AD∥PF，PEBPPFCPCD＋PD＝；.ADBDADCDBD

PEPFBPCD＋PD2BD＋2∴ADADBDBDBD

PE＋PF2.即AD∴

∴PE＋PF＝2AD.② 把点P放在点B上.这时PE＝0，PF＝2AD（三角形中位线性质），结论与①相同.还可以由PF＝BC×tanC，把定值定为：BC×tanC.即求证PE＋PF＝BC×tanC.（证明略）

同一道题的定值，可以有不同的表达式，只要是用题中固有的几何量表示均可.例2.已知：同心圆为O中，AB是大圆的直径，点P在小圆上

2求证：PA＋PB有定值.分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为R，r.① 点P放在直径AB上.222222

得PA＋PB＝（R＋r）＋（.R－r）＝2（R＋r）.② 点P放在与直径AB垂直的另一条直径上

22222222

也可得PA＋PB＝ R＋r＋R＋r＝2（R＋r）.证明： 设∠POA＝α，根据余弦定理，得

PA＝R＋r－2RrCosα，PB＝R＋r－2RrCos(180－α).∵Cos(180－α)＝Cosα.∴PA＋PB＝2（R＋r）.本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的，所以可省去探求定值的步骤，直接列出PA，PB与R, r的关系式，关键是引入参数α.例3.已知：△ABC中，AB＝AC，点P在中位线MN上，BP，CP的延长线分别交AC，AB于E，F.求证：





11＋有定值，BFCE

分析： 本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a, b, c来表示的, 为便于计算引入参数t, 用计算法证明.证明：设MP为t, 则NP=

∵MN∥BC，a－t.2

C

MPMFNPNE

，.BCBFBCCE

11BFcctatat1即；



1aBFaBFBFac2

∴

11111atCEbatbat

1 

1aCEaCECEab2

1atat

113＋∴=

1BFCEcac

3∵c 是定线段，∴是定值.c31

1＋即有定值.cBFCE

C例4.已知：在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M

和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C.求证：∠ACB有定值.分析： ⊙M是△ABC的内切圆，∠AMB是以定线段AB为弦的定弧所含的圆周角，它是个定角.(由正弦定理Sin∠AMB=所求定值可用它来表示.证明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180－∠AMB，∵M是△ABC的内心，∴∠CAB+∠CBA=2(180－∠AMB).∴∠ACB=180－（∠CAB+∠CBA）

=180－2(180－∠AMB)= 2∠AMB－180.由正弦定理













AB)，2R

ABAB

2R，∴Sin∠AMB=.2RSin AMB

∵弧AB所在圆是个定圆，弦AB和半径R都有定值，∴∠AMB有定值.∴∠ACB有定值2∠AMB－180.丙练习

1.用固有的元素表示下列各题中所求的定值(不写探求过程和证明)： ①.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是___________.②.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿.

③.正n边形内的任一点到各边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.④.延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边，相交得五个角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5它们的度数和是________，延长凸n边形(n≥5)的各边相交，得n个角，它们的度数和是___________.(2001年希望杯数学邀请赛初二试题)

⑤.两个定圆相交于A，B，经过点B任意作一条直线交 一圆于C，交另一圆于D，则

AC

有定值是_____________..AD

⑥.在以AB为直径的半圆内，任取一点P，AP，BP的延长线分别交半圆于C，D，则

AP×AC+BP×BD有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑦.AB是定圆O的任意的一条弦，点P是劣弧AB上的任一点(不含A和B)，PA，PB

分别交AB的中垂线于E，F.则OE×OF有定值是__________.2.已知：点P是⊙O直径AB上的任一点，过点P的弦CD和AB相交所成的锐角45.求证：PC+PD有定值.3.已知：点O是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点P在BC的延长线上，PD⊥BA

交BA延长线于D，PE⊥AC交AC的延长线于E.求证：∠DOE是定角

4.已知：点P是线段AB外一点，PD⊥AB于D，且PD=AB，H是△PAB的垂心，C是AB的中点.求证：CH+DH是定值.5.已知：AB，CD是⊙O的两条直径，点P是⊙O上任一点(不含A，B，C，D)..求证：点P在AB，CD的射影之间的距离是个定值.6.经过∠XOY的平分线上的任一点A，作一直线与OX，OY分别交于P，Q则OP，OQ的倒数和是一个定值.7.△ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不同点P1，P2，……，P100，记mi=APi+Bpi×PiC(i=1,2,3,……,100).则m1+m2+……+m100=＿＿＿＿＿＿＿＿.(1990年全国初中数学联赛题)

8..直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，AB＝26cm,CD=24cm,AD=8cm,有两个动点P和Q，点P在CD上，由D向C以每秒1cm的速度移动，点Q在AB上由B向A以每秒3cm的速度移动.问时间t经过几秒时，①BCPQ为平行四边形？等腰梯形？②PQ与以AD为直径的圆O相切？相离？相交？①腰上的高.②一边上的高或3r3.③ nrn.④ 180度，(n－4)180度.⑤两圆半径比.⑥AB⑦⊙O的半径的平方.2.定值是AB平方的一半，证Rt△COM≌Rt△OBD，OM=DN.3.定值是直角，以PA为直径的圆经过A，O，E，P，D五点，PE=AD，∠AOD=∠POE.4.定值是AB的一半，证明 仿例3.5.定值是⊙O的半径与两直径夹角的正弦的积，证明仿例4.6.定值是



2Cos111

(∠xoy=2α)，证明 作AR∥OQ交Dx于R，.OAOQOPAR

7.4×100.