运城学院数学分析期末试题314答案_数学分析3期末试题

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运城学院应用数学系

2011—2012学年第一学期期末考试

《数学分析3》试题（A）标准答案及评分细则

适用范围：信息与计算科学专业 1003班 命题人：李晓霞

审核人：

一、填空题（10小题，每题2分，共20分）

11、x,y1x2y242、supP1,P23、04、5、x2y3z6

3P1,P2E6、17、n!

8、4

9、dx022xxfx,ydy10、0

二、判断题（10小题，每题2分，共20分）

××√√√ ×√√××

三、计算题（6小题，每题5分，共30分）

1、解：对f作奇式周期延拓，则

an0,n0,1,2, bn20xsinnxdx ……………………………………………………………3分

2n0xdcosnx2nxcosnxcosnxdx 002 n12n1xcosnxsinnx1

0n0n所以当x0,时，fxx21n1sinnx，n1n当x0,时，右边级数收敛于0.………………………………………………………………5分

2、解：因为zyxy1,xzxylnx，………………………………………………………3分 y所以 dzyxy1dxxydy.……………………………………………………………5分

3、解：方程两边同时对u求偏导，得

2u2xxuyu0  …………………………………………………………………3分1yxxy0uu2u1则 xu2xy1x2ux12.……………………………………………………………5分 12xyx

4、解：ydxsinxdysinxsinxcosxdx………………………………………………3分

L01 cosxcos2x2.……………………………………………5分

0405、解：Dx,y0xy,0y1

2y2yxeddyxedx ……………………………………………………3分 D21y200 113y2112y211yedyyde.…………………………………………5分 306063e6、解：Px,y,zx3,Qx,y,zy3,Rx,y,zz3,PQR3x2,3y2,3z2 xyz则x3dydzy3dzdxz3dxdy3x2y2z2dxdydz …………………………………4分

SV 320ddr4sindr00112.…………………………5分

5四、应用题（2小题，每题10分，共20分）

1、解：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，表面积为a2，则问题转化为求体积Vxyz在条件x,y,z2xyyzzxa2下的最大值.设Lx,y,z,xyz2xy2yz2zxa2

Lxyz2y2z0Lxz2x2z0y令 ，……………………………………………………4分

Lzxy2x2y02L2xy2yz2zxa0解得唯一解 xyza6，……………………………………………………7分

这个点是所求问题的一个稳定点，且所求问题的条件极值点必在其中，依题意，表面积确实存在最小值，所以这个稳定点一定是最值点。……………………………9分

所以表面积一定而体积最大的长方体是边长为

a6的长方体.……………………………10分

2、解：设圆盘D为x2y2R2，密度为，求对于y轴的转动惯量.则

Jx2d ……………………………………………………4分

D 202d2rcosrdr 0RR1R4.………………………………………………10分

00

4五、证明题（2小题，每题5分，共10分）cos2dr3dr

1、证：P(x,y)2xsiny,Q(x,y)xcosy，PQ，cosyyx所以曲线积分(2xsiny)dx(xcosy)dy与路径无关.…………………………………2分

AB于是(2xsiny)dx(xcosy)dy的原函数

ux,y2xsiny0dxyx0xy0xcosydyx2xsinyx0x0siny0

 x2xsinyC.…………………………………………………5分

2、证：由于fx0,0limx0f0x,0f0,00，xfy0,0limy0f0,0yf0,00，…………………………………………2分

y因此 zdzxysin21x2y22xyxyxy22x2y200，2122xysin,xy0,22即证得函数fx,y在点0,0可微.…………………………5分 xy220,xy0