工数前三章整理_工数答案

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工数基本知识整理

总结人：王尚

定理2.1数列x收敛于a的充要条件是它所有子序列均收敛于a

运用这条定理可以证明一个数列不是收敛的，即无极限。

定理2.2f（x）极限为a的充要条件是左极限与右极限均存在且相等。

这是判断某一点是否有极限的基本思想

极限的性质

唯一性

保号性

保序性利用保序性可判断两函数关系（但注意保序的条件是在极限点附近）保序性与其他性质连用可用于某些证明题 详见课本习题2.716题

推论 有极限的数列必有界

单调有界准则单调有界数列必有极限

有界准则是求一个抽象数列（即只给n与n+1项关系）的极限的第一步。判定有极限后，两边取极限即可解出极限a。

连续函数

定理2.23（有界性）闭区间上连续函数必有界

开区间上连续函数未必有界，如tanx（0

定理2.24 闭区间上连续函数必有最大值与最小值

零点存在定理

运用该定理可以很方便讨论一个函数在某区间内是否有零点

界值定理 闭区间上连续函数必能取到介于最大值与最小值之间的任何值。

书中93页例三多项式变换公式要熟悉 作业本上有一道类似的题

定理3.6 可导函数必可微

定理4.1（洛尔定理）若函数f（x）满足

在闭区间【a，b】上连续

在开区间（a，b）上可导

f（a）=f（b）

则在区间内，至少有一点使f’（ξ）=0

定理4.2（拉格朗日中值定理）若函数f（x）满足

在闭区间【a，b】上连续

在开区间（a，b）上可导

则在区间内，至少有一点使f（a）-f(b)=(a-b)f’（ξ）

定理4.3（柯西中值定理）若函数f（x）、g（x）满足

在闭区间【a，b】上连续

在开区间（a，b）上可导，且g（x）≠0

则开区间内至少有一点使

f b −f（a）g b −g（a）g’（ξ）=f’（ξ）