高中数学联赛中常见的几何定理_高中数学联赛几何

2020-02-27 其他范文下载本文

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梅涅劳斯定理：

梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。他指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。证明：

过点A作AG‖BC交DF的延长线于G

AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：

AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=

1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

塞瓦定理：

在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=

1证法简介

（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：

∵△ADC被直线BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直线COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）

/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

可用塞瓦定理证明的其他定理;

三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D , E分别为BC , AC 中点所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=

1且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点塞瓦定理推论（赵浩杰定理）：

设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）则(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）

由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=

1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1（塞瓦定理推论）

托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）

在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

因为△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE〃AC=AB〃CD(1)

而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE

所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED〃AC=BC〃AD(2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB〃CD+AD〃BC

又因为BE+ED≥BD

（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证

复数证明

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、A

C、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a − b)(c − d)+(a − d)(b − c)=(a − c)(b − d)，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；因此AK〃BD = AB〃CD，且CK〃BD = BC〃DA；两式相加，得(AK+CK)〃BD = AB〃CD + BC〃DA；但AK+CK = AC，因此AC〃BD = AB〃CD + BC〃DA。证毕。

三、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC〃BD＝AB〃CD＋AD〃BC．

证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC〃BP=AD〃BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC〃DP=AB〃CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB〃CD＋AD〃BC．即AC〃BD=AB〃CD＋AD〃BC．

推论

1.任意凸四边形ABCD，必有AC〃BD≤AB〃CD+AD〃BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。

推广

托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC〃BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB〃CD+BC〃AD

注意：

1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

2.四点不限于同一平面。

平面几何里的欧拉定理：

定理内容

设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．