不常用的圆定理_圆中常用定理

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弦切角定理

弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理就是弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，一半弧所对的圆心角

如图：TC为圆O切线，∠BTC=∠BAT

弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

弦切角定理的证明：做过切点的直径，连接弦和这条直径的另一端，先说明直径所对的圆周角是直角，然后直径和弦所在的直角三角形的两个锐角就互补，然后过切点的直径垂直于切线，弦和切线把这个直角分成两部分，其中有一个是上面那个直角三角形的一个锐角，然后用等式性质减去重复的部分，剩下的就是弦切角和所夹的弧所对的圆周角相等了。

圆幂定理

圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。

进一步升华（推论）：

过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则

PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2|（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。（这就是“圆幂”的由来）

密克定理（三圓定理+完全四線形定理+四圓定理+五圓定理）

密克定理是几何学中關於相交圓的定理。1838年，奧古斯特·密克敘述並證明了數條相關定理。许多有用的定理可由其推出。

三圓定理：設三個圓C1, C2, C3交於一點O，而M, N, P分別是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交點。設A為C1的點，直線MA交C2於B，直線PA交C3於C。那麼B, N, C這三點共線。逆定理：如果,是三角形，M, N, P三點分別在邊AB, BC, CA上，那麼三角形的外接圓交於一點O。，, ,完全四線形定理：如果ABCDEF是完全四線形，那麼三角形的外接圓交於一點 O，稱為密克點。

四圓定理：設C1, C2,C3, C4為四個圓，A1和B1是C1和C2的交點，A2和B2是C2 和C3的交點，A3和B3是C3和C4的交點，A4和B4是C1和C4的交點。那麼A1, A2, A3, A4四點共圓當且僅當B1, B2, B3, B4四點共圓。

五圓定理：設ABCDE為任意五邊形，五點F, G, H, I, J分別是EA和BC , AB和CD, BC和DE, CD和EA, DE和AB的交點，那麼三角形, , ，的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓，而且穿過這些交點的圓也穿過五個外接

圓的圓心。

逆定理：設C1， C2, C3, C4, C5五個圓的圓心都在圓C上，相鄰的圓交於C上，那麼把它們不在C上的交點與比鄰同樣的點連起來，所成的五條直線相交於