相交弦定理_相交弦定理应用

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相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等

概念

几何语言：

若弦AB、CD交于点P

则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言：

若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）

概述

相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：

切割线定理割线定理

证明

证明：连结AC，BD

由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）

∴△PAC∽△PDB

∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD

注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法.P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。

比较

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。

切割线定理

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。

几何语言：

∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线

∴PT^2=PA·PB（切割线定理）

推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言：

∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）

由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD

证明

切割线定理证明:

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB 证明：连接AT, BT

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)

∠P=∠P(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

则PB：PT=PT：AP

即：PT²=PB·PA

割线定理

文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LA·LB=LC·LD=LT^2。如下图所示。(LT为切线）

证明一

已知：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线

求证：PA·PB=PC·PD

证明：连接AD、BC

∵∠A和∠C都对弧BD

∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C

又∵∠P=∠P

∴△ADP∽△CBP（A，A）

∴AP:CP=DP:BP

即AP·BP=CP·DP

证明二

既然圆内接四边形定理可以从割线定理而得，那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理

而得。

如图所示。

已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D 求证：AP·BP=CP·DP

证明

连接AC、BD

由圆内接四边形定理得

∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°

又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°（平角的定义）∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP（同角的补角相等）

∴△ACP∽△DBP（两角对应相等的三角形相似）

∴AP/DP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）

∴AP·BP=CP·DP（比例基本性质）[1]