第五章基本极限定理（版）_第五章极限定理

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第五章基本极限定理

【授课对象】理工类本科二年级

【授课时数】2学时

【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】

1、理解切比雪夫(车贝晓夫)不等式；

2、了解车贝晓夫大数定理及Bernoulli大数定理；

3、知道独立同分布的中心极限定理，了解德莫佛—拉普拉斯中心极限 定理。

【本章重点】车贝晓夫不等式，车贝晓夫大数定理及Bernoulli大数定理。

【本章难点】对车贝晓夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。

【授课内容及学时分配】

§5.0前言

在第一章中我们曾提出，大量重复试验中事件发生的频率具有稳定性，随着试验次数n的无限增大，事件A在n次试验中出现的次数n与试验次数之比n(即频n率)稳定在某个确定的常数附近（频率的稳定性），以此常数来近似作为事件A在一次试验中发生的概率，并在实际中，当n充分大时，用频率值作为概率值的近似估计。对于这些，我们需要给出理论上的说明，而这些理论正是概率论的理论基础。

§5.1切比雪夫不等式及大数定律

一、切比雪夫不等式

定理1 设随机变量具有有限的期望与方差，则对0，有

P(E())D()



2 2或P(E())1D()

证明：仅对连续的情形给予证明，设的分布函数为F(x)，则

概率论与数理统计教案第五章基本极限定理

1P(E())

1

xE()

(x)dF

xE()



(xE())2



dF(x)

2







(xE())2dF(x)

D()

2

该不等式表明：当D()很小时，P(E())也很小，即的取值偏离E()的可能性很小。这再次说明方差是描述取值分散程度的一个量。在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。

二、大数定律(——包括强大数定律和弱大数定律，本书主要讲弱大数定律)定义：设n是随机变量序列，它们都具有有限的数学期望E(1),E(2),，若对

1n1n

0，limPiEi0，则称n服从弱大数定律。

nnni1i1

定理2（车贝晓夫大数定律）设相互独立的随机变量1,,n分别具有数学期望

E(1),,E(n)及方差D(1),,D(n)，若存在常数C使D(i)Ci1,2,（方差一致有界），则{n}服从大数定律。

1n1n

既对任意的0，有limP{iE(i)}0

nni1ni1证明：由车贝晓夫不等式知：0,有：

1111nCC

0P{iE(i)}2D(i)i1222220(n)

ni1ni1ni1nnn

nnn

D

n

i

注：切比雪夫大数定律是最基本的大数定理，作为切比雪夫大数定律的特殊情形有Bernoulli 大数定理和Poion大数定律。

定理3（Bernoulli 大数定理）设n是n重Bernoulli试验中事件A出现的次数，已知在每次试验中A出现的概率为p(0p1)，则对0，

limPnp0 n

n

概率论与数理统计教案第五章基本极限定理



1证明：令i

0

第i次试验中A出现第i次试验中A不出现

1,2,,n，i＝

n11n

则＝i，E(i)P，D(i)P(1P)，i＝1,2,,n

4nni1于是由切比雪夫不等式，对0，有

1nn1n1n

PPPiEiPE(i)

ni1nni1ni1

11n

2DE(i)22ni1n1

即

i

i1

n

D(1)

0(n)

2n

n

n

P(n)。故{i}服从大数定律。

可见，只要把i(i1,2)看作服从（0-1）分布的随机变量即可。Bernoulli 大数定律在理论上说明了在大量重复独立实验中，事件出现频率的稳定性，正是因为这种稳定性，概率才有客观意义。

而Poion大数定律则为切比雪夫大数定律的另一特例

定理4（Poion大数定律）设n是n次独立试验中事件A出现的次数，已知在第i次试验中A出现的概率为pi（0pi1）,i1,2，则对0

n1lim{|—nnn证：（略）

Pi

i1

n

}=0

显然，Poion大数定律是作为Bernoulli大数定律的推广，它表明随着n，n次独立试验中事件A出现的概率稳定于各次试验中事件A出现的概率的算术平均值。

推论：设1,,n是相互独立的随机变量，且服从相同的分布，E(i),D(i)2

i1,2,，则0,有：

1n1n1n

limP{i}0 limP{i}1即i以概率1收敛nnni1ni1ni1

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于

这个结论有很实际的意义：人们在进行精密测量时，为了减少随机误差，往往重复

测量多次，测得若干实测值1,,n。

§5.2中心极限定理

设{n}是相互独立的随机变量序列，Eii

令Sn=iEi则Bn=DSn=D

Di2i

n

n

i1,2,,n

n

i1



i1

n

i

Ei=Di=2i，i1

i1

设n=

Sn

（标准化）n1,2，下面研究n的分布： Bn

Df1：设{n}为相互独立的随机变量序列，若P{nx}以概率1收敛于标准正态分布N(0,1)的分布函数(x), 即 limP{nx}=

n

12

x



e



t22

dt，则称{n}服从中心极

限定理。

Df2:（不讲）设随机变量1,2,的分布函数为F1(X), F2(X),，若Fn(X)弱收敛于正态分布N(,2)的分布函数，则称{n}渐近于正态分布N(,2)

中心极限定理有多种不同的形式，下面我主要讲两种形式：

一、独立同分布的中心极限定理 定理1:(莱维—林德伯格定理)

设{n}是独立同分布的随机变量序列，Ei,Di2（有限），若xR，随机变量n

(

i

1n

i

)

nn的分布函数Fn(x)Pnx收敛于标准正态分布N0,1的分布函数，即 limFn(x)(x)，则{n}服从中心极限定理。证：（略）

更进一步的有：对ab，limP{anb}(b)(a)

n

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二、德莫佛—拉普拉斯中心极限定理

定理2: 设n(n1,2,)是n重Bernoulli试验中成功的次数，已知每次试验成功的概率为p0p1,q1p，则对xR,有

limPnnp

x



2n

{

x}

122



e

dtx

或ab，有limnnp

n

P{a

np

b}ba 证明： 令1第i次试验成功

i0反之

则

{i}为独立同分布的随机变量序列,且EipD1ip(1p)

4n

显然：ni，此时nnp

n

i

1该定理为上定理的一个特殊情形，故由上定理该定理得证。作为以上二定理的应用，我们给出下面例子：

Ex1：（关于二项分布的近似计算式）设~B(n,p)，试求P{m1m2} m解P{m2

k

k2np1m2}=Cnp(1p)nkP{

m1npnp

km1np(1p)



np(1p)



mnp(1p)

（m1npnpnp(1p))（m2np(1p))

Ex2:P119 例4

三、课后作业：

1、仔细阅读P112-119；

2、作业：P1202，5，7，93、预习：样本及抽样分布1-3。

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