数学定理_数学定理美

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弦切角定理： 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）

如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。

切线长定理：

定义：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

如图中，切线长AC=AB。

∵∠ABO=∠ACO=90°

BO=CO=半径

AO=AO公共边

∴RtΔABO≌RtΔACO（H.L）

∴AB=AC

∠AOB=∠AOC

∠OAB=∠OAC

切线长定理推论：圆的外切四边形的两组对边的和相等

相交弦定理：

相交弦定义：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）

相交弦说明:

几何语言：

若弦AB、CD交于点P

则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：

若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）

切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。

几何语言：

∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：

∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD

切割线定理证明:

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB

证明：连接AT, BT

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)

切割线定理的证明

∠P=∠P(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT^2=PB·PA

割线定理:

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LA·LB=LC·LD=LT^2。如下图所示。(LT是切线）

切割线定理证明:

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB

证明：连接AT, BT

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)

切割线定理的证明

∠P=∠P(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

则PB：PT=PT：AP即：PT^2=PB·PA

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