排列组合中需要注意的几个问题(hao)(蒋政)_排列组合重排问题求幂

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排列组合中需要注意的几个问题

因排列组合内容独特，解题时易重复，易遗漏，而得到的数据又不易检验，所以在解题时要先看清题意，区分好下列几个问题：

一、相同与不同

例1 ①4张相同的球票分给5人，每人至多1张，且票必须分完，那么不同的分法种数为；

②4张不同场次的球票分给5人，每人至多1张，且票必须分完，那么不同的分法种数为。

①C5.②A54.二、重复与不重复

例2 ①用1、2、3、4、5、6、7、8、9可以组成多少个三位数；

②用1、2、3、4、5、6、7、8、9可以组成多少个各位数字不同的三位数。①729 ②A984.三、相邻与不相邻

例3①7名同学站成一排，其中甲乙必须站在一起，有几种不同排法。

6252

②7名同学站成一排，其中甲乙不站在一起，有几种不同排法。①A6A2.②A5A6.四、平均分组与不平均分组

例4 ①6本不同的书分成3份，每份2本；

②6本不同的书分成3份，一份1本，一份2本，一份3本。①15 ②60

五、分配与分组

例5 ①6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本；

②6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人1本、一人2本、一人3本。①90；②360

六、同时取与一个一个取

例6①从100个产品中取出5个产品进行检测，共有多少种不同的取法；

②有100个产品，现一个一个地取出5个产品进行检测，共有多少种不同的取法。①C100②A100

七、有放回取与不放回取

例7袋中有4个不同的白球和5个不同的黑球，连续从中取出3个球，①“取出后放回”，取出顺序为“黑白黑”的有几种；

②“取出后不放回”，取出顺序为“黑白黑”的有几种。①93=729②A950

4排列组合中需要注意的几个问题

因排列组合内容独特，解题时易重复，易遗漏，而得到的数据又不易检验，所以在解题时要先看清题意，区分好下列几个问题：

一、相同与不同

例1 ①4张相同的球票分给5人，每人至多1张，且票必须分完，那么不同的分法种数为；

②4张不同场次的球票分给5人，每人至多1张，且票必须分完，那么不同的分法种数为。分析：①元素相同，4张票分给5人中的4人，因票是一样，则无顺序，因此是组合问题，故答案为C54.4②元素不同，4张票分给5人中的4人，因票不一样，则有顺序，因此是排列问题，故答案为A5.二、重复与不重复

例2 ①用1、2、3、4、5、6、7、8、9可以组成多少个三位数；

②用1、2、3、4、5、6、7、8、9可以组成多少个各位数字不同的三位数。

分析：①每位数上都可取9个数中的一个，用分步计数原理，故答案为999729.3②数字不重复，则必须取三个不同数字去组成，故答案为A984.三、相邻与不相邻

例3①7名同学站成一排，其中甲乙必须站在一起，有几种不同排法。②7名同学站成一排，其中甲乙不站在一起，有几种不同排法。

分析：①相邻问题采用“捆绑法”，捆绑起来的几个元素看成一个大元素与其它元素进行全排列，62然后再松绑，故答案为A6A2.②不相邻问题采用“插入法”，先排好其余的元素，然后将不相邻的元素插入空挡，故答案为52A5A6.四、平均分组与不平均分组

例4①6本不同的书分成3份，每份2本；

②6本不同的书分成3份，一份1本，一份2本，一份3本。

分析：①每组书都2本，因元素取的先后，3组产生的顺序，而实际上只分组不用排，故答案为

mmm222CmnCmC6C4C2(n1)Cm种15种。一般地，将mn个元素平均分成n组，每组m个元素，共有n3AA3n

分法。

②因每组书数目不同，分书中1本、2本、3本各自到自己地组别，不可交换有顺序，故答案为123C6C5C3=60种。

五、分配与分组

例5①6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本；

②6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人1本、一人2本、一人3本。

222分析：①根据分步计数原理，分给甲、乙、丙三人，共有C6C4C2=90种；或将其平均分成3组再

222C6C4C23排列，则有A390种； 3A3

1233②在例4中②的基础上，再分给甲、乙、丙三人，故有C6C5C3A3360种。

分配要考虑元素的顺序，而分组不需要考虑元素的顺序，因此分配也可以看作是在分组的基础上再进行排列，即先取元素再全排列。

六、同时取与一个一个取

例6①从100个产品中取出5个产品进行检测，共有多少种不同的取法；

②有100个产品，现一个一个地取出5个产品进行检测，共有多少种不同的取法。

5分析：①一次性取出5个产品，无顺序，因此是组合问题，故答案为C100种；

5②一个一个取出5个产品，某个产品有顺序，因此是排列问题，故答案为A100种．

七、有放回取与不放回取

例7袋中有4个不同的白球和5个不同的黑球，连续从中取出3个球，①“取出后放回”，取出顺序为“黑白黑”的有几种；

②“取出后不放回”，取出顺序为“黑白黑”的有几种。

111分析：①取出后放回，每次取球始终在9个球中取，根据分步计数原理共有A5A4A5100种取

法；若不考虑球的颜色，只取3个球，则有93=729种不同的取法；

111②取出后不放回，则每次取球比上一次少1个，根据分步计数原理，共有C5C4C480种取法；同

3样若不考虑球的颜色，只取3个球，则有A9504种不同的取法。

解排列组合问题时，一定要仔细考虑，它是排列问题还是组合问题？应该分类还是分步？只有我们通过不断的思考，相互的类比、对照，横向的联系、区别，在今后的解题中才会得心应手。

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